[рис.] а)  Продлим прямую KM до пересечения с прямой AD в точке P. Отрезок AK  — средняя линия треугольника PMD, поскольку $AK = $\frac{2}{5}$ AA_1 = $\frac{1}{2}$ DM$ Значит, PA  =  AD, а тогда по двум сторонам и углу между ними равны треугольники PAL и CBL. Следовательно, $\angle PLA = \angle CLB$ и точки P, L, C лежат на одной прямой. Тогда точки K, M, L и C лежат в одной плоскости  — плоскости α.
б)  Плоскость α делит ребро AB точкой пересечения пополам, поэтому точки A и B = удалены от плоскости α. Найдем объем пирамиды PAKL. Имеем:

$AK = $\frac{2}{5}$ AA_1 = 4$
$AP = AD = 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$
$AL = $\frac{1}{2}$ AB = $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$
$\sin \angle PAL = \ain \angle LAD = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: \ctg ^2 \angle LAD + 1}$ аргумента} = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: ( \tfrac43 ) ^2 + 1}$ аргумента} = \frac{3}{5}$

Объем пирамиды равен

$V_PAKL = $\frac{1}{3}$ \cdot AK \cdot S_PAL = $\frac{1}{3}$ \cdot 4 \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \cdot $\frac{8}{5}$ = 8$

Пусть расстояние от точки A до плоскости α =  h. Тогда $V_PAKL = $\frac{1}{3}$ \cdot h \cdot S_PKL$ откуда $h = \frac{24}{S_PKL}$ Найдем стороны треугольника PKL: сторону PL по теореме \cos ов в треугольнике PAL, а стороны KL и PK по теореме Пифагора в треугольниках KLA и PKA соответственно. Получаем:

$KL ^2 = AK ^2 + AL ^2 = 26$
$PK ^2 = PA ^2 + AK ^2 = 56$

$PL = $\sqrt{аргумента: AP ^2 + AL ^2 - 2 \cdot AP \cdot AL \cdot \cos \angle PAL}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 40 + 10 - 2 \cdot 2 \cdot 10 \cdot \cos \angle PAL}$ аргумента$ $PL = $\sqrt{аргумента: AP ^2 + AL ^2 - 2 \cdot AP \cdot AL \cdot \cos \angle PAL}$ аргумента =$
$= $\sqrt{аргумента: 40 + 10 - 2 \cdot 2 \cdot 10 \cdot \cos \angle PAL}$ аргумента$

В зависимости от градусной меры угла PAL находим

$PL = \sqrt{аргумента: 50 - 40 \cdot $\frac{4}{5}$} аргумента = $\sqrt{аргумента: 18}$ аргумента$
или
$PL = \sqrt{аргумента: 50 + 40 \cdot $\frac{4}{5}$} аргумента = $\sqrt{аргумента: 82}$ аргумента$

[рис.]
Если $PL = $\sqrt{аргумента: 18}$ аргумента$ то по теореме \cos ов в треугольнике PLK

$\cos \angle PLK = \frac{18 + 26 - 56}{2 \cdot $\sqrt{аргумента: 18}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 56}$ аргумента} = - \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}$

Тогда $\sin \angle PLK = \sqrt{аргумента: $\frac{12}{13}$} аргумента$ и площадь треугольника PLK равна

$S_PLK = $\frac{1}{2}$ \cdot $\sqrt{аргумента: 18}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{12}{13}$} аргумента = 6 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$

а искомое расстояние = $h = \frac{24}{6 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = \frac{4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3}$
[рис.]
Если $PL = $\sqrt{аргумента: 82}$ аргумента$ то по теореме \cos ов в треугольнике PLK

$\cos \angle PLK = \frac{82 + 26 - 56}{2 \cdot $\sqrt{аргумента: 82}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 56}$ аргумента} = \sqrt{аргумента: $\frac{13}{41}$} аргумента$

Тогда $\sin \angle PLK = \sqrt{аргумента: $\frac{28}{41}$} аргумента$ и площадь треугольника PLK равна

$S_PLK = $\frac{1}{2}$ \cdot $\sqrt{аргумента: 82}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{28}{41}$} аргумента = 2 $\sqrt{аргумента: 91}$ аргумента$

а искомое расстояние = $h = \frac{24}{2 $\sqrt{аргумента: 91}$ аргумента} = \frac{12 $\sqrt{аргумента: 91}$ аргумента}{91}$

Ответ: б)  $\frac{4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3}$  или  $\frac{12 $\sqrt{аргумента: 91}$ аргумента}{91}$