На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 5 : 3, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 5 : 11, а точка T — середина ребра B1C1. Известно, что $AB = 6 \sqrt{2}$ AD = 10, AA1 = 16.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Плоскость EFT пересекает грани BB1C1C и AA1D1D по параллельным отрезкам.
$TB_1=5,B_1F= \frac{5}{} 16 \cdot 16=5,A_1E= $\frac{5}{8}$ \cdot 16=10,A_1D_1=10$
Значит, треугольники D1A1E и TB1F подобны, причём прямые D1A1 и B1C1 параллельны, прямые A1E и B1F тоже параллельны. Поэтому прямые ED1 и FT также параллельны. Если плоскость EFT не проходит через точку D1, то получается, что в плоскости AA1D1D через точку E проходят две различные прямые, параллельные прямой FT. Получили противоречие.
б) Сечение параллелепипеда плоскостью EFT — трапеция. Проведём через точку F прямую, параллельную прямой AB. Получим точку P на ребре AA1.
$PE=A_1E - B_1F=5,PF=6 \sqrt{2}$
Тогда
$EF= $\sqrt{аргумента: PE ^2 + PF ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 25 + 72}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 97}$ аргумента$
$D_1T= $\sqrt{аргумента: D_1C_1 ^2 + C_1T ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 72 + 25}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 97}$ аргумента$
Следовательно, EF = D1T, и трапеция EFTD1 = бедренная. Проведём в ней высоту TH.
$D_1H= $\frac{D_1E - TF}{2}$ = \frac{10 $\sqrt{2}$ - 5 $\sqrt{2}$}{2} = \frac{5 $\sqrt{2}$}{2}$
$TH= $\sqrt{аргумента: D_1T ^2 - D_1H ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: 97 - $\frac{25}{2}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{169}{2}$} аргумента = \frac{13 $\sqrt{2}$}{2}$
Тогда $S_EFTD_1= $\frac{1}{2}$ ( D_1E + TF ) \cdot TH= $\frac{1}{2}$ ( 10 $\sqrt{2}$ + 5 $\sqrt{2}$ ) \cdot \frac{13 $\sqrt{2}$}{2} = $\frac{15 \cdot 13}{2}$ = $\frac{195}{2}$ =97,5$
Ответ: б) 97,5.
$TB_1=5,B_1F= \frac{5}{} 16 \cdot 16=5,A_1E= $\frac{5}{8}$ \cdot 16=10,A_1D_1=10$
Значит, треугольники D1A1E и TB1F подобны, причём прямые D1A1 и B1C1 параллельны, прямые A1E и B1F тоже параллельны. Поэтому прямые ED1 и FT также параллельны. Если плоскость EFT не проходит через точку D1, то получается, что в плоскости AA1D1D через точку E проходят две различные прямые, параллельные прямой FT. Получили противоречие.
б) Сечение параллелепипеда плоскостью EFT — трапеция. Проведём через точку F прямую, параллельную прямой AB. Получим точку P на ребре AA1.
$PE=A_1E - B_1F=5,PF=6 \sqrt{2}$
Тогда
$EF= $\sqrt{аргумента: PE ^2 + PF ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 25 + 72}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 97}$ аргумента$
$D_1T= $\sqrt{аргумента: D_1C_1 ^2 + C_1T ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 72 + 25}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 97}$ аргумента$
Следовательно, EF = D1T, и трапеция EFTD1 = бедренная. Проведём в ней высоту TH.
$D_1H= $\frac{D_1E - TF}{2}$ = \frac{10 $\sqrt{2}$ - 5 $\sqrt{2}$}{2} = \frac{5 $\sqrt{2}$}{2}$
$TH= $\sqrt{аргумента: D_1T ^2 - D_1H ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: 97 - $\frac{25}{2}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{169}{2}$} аргумента = \frac{13 $\sqrt{2}$}{2}$
Тогда $S_EFTD_1= $\frac{1}{2}$ ( D_1E + TF ) \cdot TH= $\frac{1}{2}$ ( 10 $\sqrt{2}$ + 5 $\sqrt{2}$ ) \cdot \frac{13 $\sqrt{2}$}{2} = $\frac{15 \cdot 13}{2}$ = $\frac{195}{2}$ =97,5$
Ответ: б) 97,5.
Правильный ответ:
б) 97,5
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 65150 • Задание №4
[рис.] Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 с...
ID 69510 • Задание №16
15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таков...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №14 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67919
Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1, двугранный угол призмы при ребре AA1 равен 60°.
а) Д...
ID 67920
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна $2 корень из 3$ а высота...
ID 67921
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 1.
а) Докажите, что расстояние между...
ID 67922
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым ...
ID 67923
Расстояние между боковыми ребрами AA1 и BB1 прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 равно 5, а расс...