[рис.] a)  Точка O принадлежит прямой B1D, следовательно, точка O принадлежит плоскости B1DM. В плоскости DB1M проведем отрезок OT, параллельный отрезку B1M, где точка T принадлежит плоскости ABC, тогда точка T принадлежит также плоскости α. Точка O принадлежит прямой AC1. В плоскости AC1N проведем отрезок OP, параллельный отрезку C1N, где точка  P принадлежит плоскости  ABC, тогда точка  P принадлежит также плоскости α. Таким образом, прямая TP  — линия пересечения плоскости  ABC с плоскостью α. Пусть K и G  — точки пересечения прямой  TP с ребрами AB и AD соответственно. Через точку K проведем прямую, параллельную прямой B1M, пусть S  — точка ее пересечения с ребром BB1, через точку S проведем прямую, параллельную прямой C1N, пусть E  — точка ее пересечения с ребром B1C1, через точку E проведем прямую, параллельную прямой GK, пусть F  — точка ее пересечения с ребром C1D1, через точку E проведем прямую, параллельную прямой KS, пусть L  — точка ее пересечения с ребром DD1. Тогда GKSEFL  — сечение параллелепипеда плоскостью α.
[рис.]
Пусть TW  — средняя линия треугольника ADM, тогда $T W = $\frac{1}{2}$ AM$ Точку пересечения прямой  GK с прямой  BC обозначим Q. Треугольники QPN и GPA равны по стороне $( A P = P N )$ и двум прилежащим углам. Следовательно, QN  =  GA, а так как BN  =  AW, то QB  =  GW и треугольники KBQ и TWG равны по катету и острому углу. Тогда

$B K=W T= $\frac{1}{2}$ A M= $\frac{1}{2}$ B M$

и K  — середина MB, а поскольку прямые KS и B1M параллельны, то точка S  — середина BB1 и BS : SB1  =  1 : 1.

б)  Прямая C1N параллельна плоскости α, следовательно, расстояние от точки C1 до плоскости α = расстоянию от точки N до плоскости α. Заметим, что Q  — точка пересечения прямой  BC с плоскостью α. Треугольники QBK и PMK равны по катету (MK  =  BK) и острому углу, следовательно,

$BQ = PM = $\frac{1}{2}$ BN = $\frac{1}{3}$ NQ$

значит, $NQ = 3 BQ$ и $d ( N, альфа ) =3 d ( B, альфа )$
В плоскости ABC проведем отрезок BR, перпендикулярный GQ, отрезок BR является проекцией отрезка SR на плоскость ABC, и по теореме о трех перпендикулярах GQ и SR перпендикулярны, следовательно, прямая GQ перпендикулярна плоскости SBR. В плоскости SBR из точки B опустим перпендикуляр BH на прямую SR. Тогда $BH \perp SR$ $BH \perp GQ$ следовательно, BH является перпендикуляром к плоскости α и $d ( B, альфа ) = BH$

$KB= $\frac{1}{4}$ AB= \frac{3}{2}$
$BQ= $\frac{1}{4}$ BC=1$ $SB= $\frac{1}{2}$ BB_1= \frac{3}{2}$
$KQ= $\sqrt{аргумента: KB ^2 + BQ ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{9}{4}$ + 1} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2}$

откуда

$BR= $\frac{KB \cdot B Q}{K Q}$ = $\frac{\dfrac3}{2}$ \cdot 1\dfrac $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента 2= \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}$
$SR= $\sqrt{аргумента: SB ^2 + BR ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{9}{4}$ + $\frac{9}{13}$} аргумента = \frac{3 $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}{2 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}$

следовательно,

$B H= $\frac{BR \cdot SB}{SR}$ = \frac{\dfrac3}{$\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента} \cdot \dfrac32\dfrac3 $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента 2 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента = \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}$

Таким образом, $d ( N, альфа ) = \frac{9}{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}$

Ответ: б)   $\frac{9}{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}$