[рис.] а)  Пусть точка A  — вершина конуса, точка О  — центр, а отрезок AB  — диаметр основания. Пусть радиус основания равен  R. Рассмотрим осевое сечение конуса ABC, точки M и N  — точки пересечения прямых AB и AC со сферой соответственно. Тогда AO  =  3R и

$AB=AC= $\sqrt{аргумента: AO ^2 + BO ^2}$ аргумента =R $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$

Заметим, что треугольники BMO и ABC  — = бедренные с общим углом B, следовательно, они подобны. Значит,

$\frac{BM}{BO} = $\frac{BC}{AB}$ = \frac{2R}{R $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} = \frac{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента}{5}$

откуда $BM= \frac{R $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента}{5}$ Таким образом,

$\frac{AM}{BM} = $\frac{AB - BM}{BM}$ = \frac{4}{1}$

б)  Пусть высота конуса AO пересекается со сферой в точке К, а с отрезком MN  — в точке L. Тогда из подобия треугольников ABC и AMN следует, что

$\frac{OL}{AL} = $\frac{BM}{AM}$ = \frac{4}{1}$

откуда $OL= $\frac{1}{5}$ AO= $\frac{3}{5}$ R$ а значит, $KL=OK - OL= $\frac{2}{5}$ R$
Часть сферы, заключенная в конусе, представляет собой шаровой сегмент радиусом R  =  5 и высотой h  =  KL  =  2, поэтому $S =2 \pi Rh = 20 \pi$

Ответ: б) $S = 20 \pi$