[рис.] а)  Введём систему координат, как показано на рисунке. Поскольку ребро куба в корень $\sqrt{3}$ меньше его диагонали, ребро данного куба = $\sqrt{3}$ Тогда точки B, D, C1 имеют координаты $( 0; $\sqrt{3}$ ; $\sqrt{3}$ )$ $( $\sqrt{3}$ ; 0; $\sqrt{3}$ )$ $( $\sqrt{3}$ ; $\sqrt{3}$ ; 0 )$ соответственно.
P лежит на продолжении A1C, поэтому отрезок A1P можно рассматривать как диагональ куба с ребром $\frac{4 $\sqrt{3}$}{3}$ Тогда точка P имеет координаты $( \frac{4 $\sqrt{3}$}{3} ; \frac{4 $\sqrt{3}$}{3} ; \frac{4 $\sqrt{3}$}{3} )$
Найдём расстояние от P до точек D, B и C1:

$\sqrt{аргумента: ( \frac{$\sqrt{3}$}{3} ) ^2 + ( \frac{$\sqrt{3}$}{3} ) ^2 + ( \frac{4 $\sqrt{3}$}{3} ) ^2} аргумента = $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$

Отрезки C1B, DB и DC1  — диагонали граней куба, поэтому по теореме Пифагора $C_1B=DB=DC_1= \sqrt{6}$ Тогда $PD=PC_1=PB=C_1B=DB=DC_1$ Значит, все рёбра тетраэдра DBC1P равны, поэтому он правильный.
б)  Координаты точки A: $( 0; 0; $\sqrt{3}$ )$ Раcстояние от точки P до точки A =

$\sqrt{аргумента: ( \frac{4 $\sqrt{3}$}{3} ) ^2 + ( \frac{4 $\sqrt{3}$}{3} ) ^2 + ( \frac{4 $\sqrt{3}$}{3} - $\sqrt{3}$ ) ^2} аргумента = $\sqrt{аргумента: 11}$ аргумента$

Ответ: $\sqrt{аргумента: 11} аргумента$

[рис.]
Приведем решение Дениса Чернышева.
а)  Найдем длины боковых ребер тетраэдра как длины векторов $\overrightarrowPD$ $\overrightarrowPB$ и $\overrightarrowPC_1$ :
$\overrightarrowPD= \overrightarrowPC + \veca$ $\overrightarrowPB= \overrightarrowPC + \vecb$ и $\overrightarrowPC_1= \overrightarrowPC + \vecc$ Отсюда вычислим $\overrightarrowPD$ :

$\overrightarrowPD= $\frac{4}{3}$ \cdot \veca + $\frac{1}{3}$ \cdot \vecb + $\frac{1}{3}$ \cdot \vecc = сильно ( \overrightarrowPD ) ^2 = ( $\frac{16}{9}$ ) \cdot 3 + ( $\frac{1}{9}$ ) \cdot 3 + ( $\frac{1}{9}$ ) \cdot 3 = сильно ( \overrightarrowPD ) ^2 = $\frac{16 + 1 + 1}{3}$ =6$ $\overrightarrowPD= $\frac{4}{3}$ \cdot \veca + $\frac{1}{3}$ \cdot \vecb + $\frac{1}{3}$ \cdot \vecc = сильно ( \overrightarrowPD ) ^2 = ( $\frac{16}{9}$ ) \cdot 3 + ( $\frac{1}{9}$ ) \cdot 3 + ( $\frac{1}{9}$ ) \cdot 3 = сильно$
$ = сильно ( \overrightarrowPD ) ^2 = $\frac{16 + 1 + 1}{3}$ =6$ $\overrightarrowPD= $\frac{4}{3}$ \cdot \veca + $\frac{1}{3}$ \cdot \vecb + $\frac{1}{3}$ \cdot \vecc = сильно$
$ = сильно ( \overrightarrowPD ) ^2 = ( $\frac{16}{9}$ ) \cdot 3 + ( $\frac{1}{9}$ ) \cdot 3 + ( $\frac{1}{9}$ ) \cdot 3 = сильно$
$ = сильно ( \overrightarrowPD ) ^2 = $\frac{16 + 1 + 1}{3}$ =6$

Аналогично вычисляются $( \overrightarrowPB ) ^2$ и $( \overrightarrowPС ) ^2$
Найдем длины ребер основания тетраэдра как длины векторов $\overrightarrowDB= - \veca + \vecb$ $\overrightarrowDC_1= - \veca + \vecc$ и $\overrightarrowBC_1= - \vecb + \vecc$ :

$( \overrightarrowDB ) ^2 = ( \veca ) ^2 + ( \vecb ) ^2 =3 + 3=6$

Аналогично вычисляются $( \overrightarrowDC_1 ) ^2$ и $( \overrightarrowBC_1 ) ^2$ Все ребра равны, значит, PDBC1  — правильный тетраэдр.
б)  Найдем длину вектора $\overrightarrowPA$ :

$\overrightarrowPA=\overrightarrowPC + \overrightarrowCA, \qquad \overrightarrowCA=\veca + \vecb$
$\overrightarrowPC= $\frac{1}{3}$ \CDOT \overrightarrowCA_1, \qquad \overrightarrowCA_1=\veca + \vecb + \vecc$

тогда

$\overrightarrowPA= $\frac{4}{3}$ \cdot \veca + $\frac{4}{3}$ \cdot \vecb + $\frac{1}{3}$ \cdot \vecc = сильно ( \overrightarrowPA ) ^2 = $\frac{16 + 16 + 1}{3}$ =11 = сильно \overrightarrowPA= $\sqrt{аргумента: 11}$ аргумента$

Ответ: $\sqrt{аргумента: 11} аргумента$

Приведём другое решение.
[рис.] а)  Диагональ куба в $\sqrt{3}$ больше его ребра: $A_1C = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента AB$ Следовательно, $AB= \frac{A_1C}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
Заметим, что $BC_1 = C_1D = BD = $\sqrt{2}$ AB = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$ как диагонали квадратов со стороной AB. Тогда треугольник BC1D правильный.
Пусть $BD \cap AC = O$ $C_1O \cap A_1C = M$ ABCD  — квадрат, поэтому имеем: $AO=OC= $\frac{1}{2}$ AC= \frac{$\sqrt{6}$}{2}$
Поскольку $\angle C_1A_1C = \angle A_1CA$ как накрест лежащие и $\angle A_1MC_1 = \angle OMC$ как вертикальные, получаем: $\Delta A_1MC_1 \sim \Delta CMO$ по двум углам, тогда $\frac{OM}{C_1M} = $\frac{OC}{A_1C_1}$ = $\frac{A_1M}{CM}$ = \frac{1}{2}$
Заметим, что треугольник $C_1CO$ прямоугольный, тогда $C_1O = \sqrt{аргумента: $\frac{6}{4}$ + 3} аргумента = \frac{3}{$\sqrt{2}$}$ откуда

$OM= $\frac{1}{3}$ C_1O= \frac{1}{$\sqrt{2}$}$ $C_1M= $\frac{2}{3}$ C_1O= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ $CM= $\frac{1}{3}$ A_1C=1$

В треугольнике OMC имеем: $OC ^2 = OM ^2 + MC ^2$ поскольку $\frac{6}{4} = $\frac{1}{2}$ + 1$ верно. Тогда, по теореме, обратной теореме Пифагора, ΔOMC прямоугольный, ∠M  =  90°.
[рис.]
BO  =  OD (C1O  — медиана), $\frac{C_1M}{OM} = \frac{2}{1}$ и $\Delta BDC_1$   — правильный, поэтому M  — точка пересечения медиан, биссектрис и высот ΔBDC1, то есть центр описанной окружности.
M  — центр описанной окружности треугольника BC1D и ∠C1MC  =  90°, поэтому проекция точки  P  — точка  M, тогда PB  =  PC1  =  PD.
Заметим, что $\cos \angle C_1A_1C = \frac{$\sqrt{6}$}{3}$ по теореме \cos ов

$PC_1 ^2 =A_1C_1 ^2 + A_1P ^2 - 2A_1C_1 \cdot A_1P \cos \angle C_1A_1C = сильно PC_1= \sqrt{аргумента: 16 + 6 - 2 \cdot \frac{$\sqrt{6}$}{3} \cdot $\sqrt{6}$ \cdot 4} аргумента = $\sqrt{аргумента: 22 - 16}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$ $PC_1 ^2 =A_1C_1 ^2 + A_1P ^2 - 2A_1C_1 \cdot A_1P \cos \angle C_1A_1C = сильно$
$ = сильно PC_1= \sqrt{аргумента: 16 + 6 - 2 \cdot \frac{$\sqrt{6}$}{3} \cdot $\sqrt{6}$ \cdot 4} аргумента = $\sqrt{аргумента: 22 - 16}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$

$PD=PC_1=BP=BC_1=C_1D=BD= \sqrt{6}$ поэтому $PBC_1D$   — правильный тетраэдр, что и требовалось доказать.
б)   $\cos \angle AA_1C= $\frac{AA_1}{A_1C}$ = \frac{$\sqrt{3}$}{3}$ по теореме \cos ов

$AP ^2 =AA_1 ^2 + A_1P ^2 - 2AA_1 \cdot A_1P \cos \angle AA_1C_1 = сильно AP = \sqrt{аргумента: 3 + 16 - 2 \cdot \frac{$\sqrt{3}$}{3} \cdot $\sqrt{3}$ \cdot 4} аргумента = $\sqrt{аргумента: 19 - 8}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 11}$ аргумента$ $AP ^2 =AA_1 ^2 + A_1P ^2 - 2AA_1 \cdot A_1P \cos \angle AA_1C_1 = сильно$
$ = сильно AP = \sqrt{аргумента: 3 + 16 - 2 \cdot \frac{$\sqrt{3}$}{3} \cdot $\sqrt{3}$ \cdot 4} аргумента = $\sqrt{аргумента: 19 - 8}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 11}$ аргумента$

Ответ: $\sqrt{аргумента: 11} аргумента$