Пусть O  — вершина данного угла, P и Q  — проекции точки M на стороны угла, $MP=3$ $MQ=6,A$ и B  — точки, в которых прямая, проходящая через точку M, пересекает стороны соответственно OP и OQ данного прямого угла. Обозначим $OA =x,OB=y$ Тогда $S_\Delta AOB= $\frac{1}{2}$ OA \cdot OB= $\frac{1}{2}$ xy=48$
[рис.]
С другой стороны,

$S_\Delta AOB=S_\Delta AOM + S_\Delta BOM= $\frac{1}{2}$ OA \cdot MP + $\frac{1}{2}$ OB \cdot MQ= $\frac{1}{2}$ x \cdot 3 + $\frac{1}{2}$ y \cdot 6= $\frac{3}{2}$ x + 3y=48$ $S_\Delta AOB=S_\Delta AOM + S_\Delta BOM= $\frac{1}{2}$ OA \cdot MP + $\frac{1}{2}$ OB \cdot MQ=$
$= $\frac{1}{2}$ x \cdot 3 + $\frac{1}{2}$ y \cdot 6= $\frac{3}{2}$ x + 3y=48$ $S_\Delta AOB=S_\Delta AOM + S_\Delta BOM=$
$= $\frac{1}{2}$ OA \cdot MP + $\frac{1}{2}$ OB \cdot MQ=$
$= $\frac{1}{2}$ x \cdot 3 + $\frac{1}{2}$ y \cdot 6= $\frac{3}{2}$ x + 3y=48$

Из системы уравнений

$$$\begin{cases} новая строка $\frac{1}{2}$ xy=48 \\[6pt] новая строка $\frac{3}{2}$ x + 3y=48. \end{cases}$$$

Находим, что $x =8, y=12$ или $x=24, y=4$ Следовательно,

$AB= $\sqrt{аргумента: OA ^2 + OB ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: x ^2 + y ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 8 ^2 + 12 ^2}$ аргумента =4 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента$

или

$AB= $\sqrt{аргумента: 24 ^2 + 4 ^2}$ аргумента =4 $\sqrt{аргумента: 37}$ аргумента$

Ответ: $4 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента \mbox или 4 $\sqrt{аргумента: 37}$ аргумента$