[рис.] Запишем систему уравнений в виде

$$$\begin{cases} 2x + a ( 2y + 1 ) = 3 \\[6pt] x = $\frac{3}{|y| + 2}$ \end{cases}$$$

Построим график каждого из уравнений. Первое  — пучок прямых, проходящих через точку $( $\frac{3}{2}$ ; - $\frac{1}{2}$ )$ Второе  — часть гиперболы $y = $\frac{3}{x}$ - 2$ при $y больше или = 0$ и ее отражение относительно оси Ox.
Если $a = 0$ то система имеет единственное решение $( $\frac{3}{2}$ ; 0 )$ если $a не = 0$ то $y = - $\frac{x}{a}$ + \frac{3 - a}{2a}$ Ясно, что при $a меньше 0$ (положение 1) система имеет одно решение. Найдем теперь значение a, при котором прямая касается графика второго уравнения (положение 2). Ясно, что ордината точки касания положительна, поэтому $x = \frac{3}{y + 2}$ тогда

$\frac{6}{y + 2} + a ( 2y + 1 ) = 3 = сильно 6 + a ( 2y + 1 ) ( y + 2 ) = 3 ( y + 2 ) = сильно$
$ = сильно 6 + 2ay ^2 + 5ay + 2a = 3y + 6 = сильно 2ay ^2 + ( 5a - 3 ) y + 2a = 0$ $\frac{6}{y + 2} + a ( 2y + 1 ) = 3 = сильно$
$ = сильно 6 + a ( 2y + 1 ) ( y + 2 ) = 3 ( y + 2 ) = сильно$
$ = сильно 6 + 2ay ^2 + 5ay + 2a = 3y + 6 = сильно$
$ = сильно 2ay ^2 + ( 5a - 3 ) y + 2a = 0$

Определим, при каких a, не равных нулю, уравнение имеет единственное решение. Для этого решим уравнение $D = 0:$

$( 5a - 3 ) ^2 - 4 \cdot ( 2a ) ^2 = сильно 5a - 3 = \pm 4a = сильно \left[ \begin{array}{l} a = 3, a = $\frac{1}{3}$ . \end{array} \right.$

Если $a = 3$ то $y меньше 0$ значит, $a = \frac{1}{3}$ Теперь из геометрических соображений получаем, что при $a принадлежит ( 0; $\frac{1}{3}$ )$ решений системы не меньше двух. Если же $a больше \frac{1}{3}$ то решение ровно одно. В итоге получаем ответ: $( - бесконечность ; 0 ] \cup ( $\frac{1}{3}$ ; + бесконечность )$

Ответ: $( - бесконечность ; 0 ] \cup ( $\frac{1}{3}$ ; + бесконечность )$