Преобразуем неравенство:

$2 в степени ( $\frac{x}{x + 1}$ ) - 2 в степени ( $\frac{5x + 3}{x + 1}$ ) + 8 меньше или = 2 в степени ( $\frac{2x}{x + 1}$ ) = сильно 2 в степени ( $\frac{x}{x + 1}$ ) - 2 в степени ( 2 \cdot $\frac{x}{x + 1}$ + 3 ) + 8 меньше или = 2 в степени ( 2 \cdot $\frac{x}{x + 1}$ )$

Сделаем замену $y=2 в степени ( $\frac{x}{x + 1}$ ) больше 0$ Тогда данное неравенство принимает вид

$y - 8y ^2 + 8 меньше или = y ^2 = сильно 9y ^2 - y - 8\geqslant0 = сильно ( y - 1 ) ( 9y + 8 ) \geqslant0 \undersety больше 0 = сильно y\geqslant1$

Сделаем обратную замену:

$2 в степени ( $\frac{x}{x + 1}$ ) \geqslant1 = сильно $\frac{x}{x + 1}$ \geqslant0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x больше или = 0, x меньше - 1. \end{array} \right.$

Ответ: $( - бесконечность ; - 1 ) \cup [ 0; + бесконечность )$