Преобразуем неравенство:

$\frac{4 в степени ( x - 0,5 ) + 1}{9 \cdot 4 в степени x - 16 в степени ( x + 0,5 ) - 2} меньше или = 0,5 = сильно \frac{$\frac{1}{2}$ \cdot 4 в степени x + 1,}{9 \cdot 4 в степени x - 4 \cdot 4 в степени ( 2x ) - 2} меньше или = $\frac{1}{2}$ = сильно $\frac{4 в степени x + 2}{9 \cdot 4 в степени x - 4 \cdot 4 в степени ( 2x ) - 2}$ меньше или = 1$ $\frac{4 в степени ( x - 0,5 ) + 1}{9 \cdot 4 в степени x - 16 в степени ( x + 0,5 ) - 2} меньше или = 0,5 = сильно$
$ = сильно \frac{$\frac{1}{2}$ \cdot 4 в степени x + 1,}{9 \cdot 4 в степени x - 4 \cdot 4 в степени ( 2x ) - 2} меньше или = $\frac{1}{2}$ = сильно $\frac{4 в степени x + 2}{9 \cdot 4 в степени x - 4 \cdot 4 в степени ( 2x ) - 2}$ меньше или = 1$

Произведем замену  — пусть $t = 4 в степени x$ тогда

$\frac{t + 2}{9t - 4t ^2 - 2} \leqslant1 = сильно $\frac{t + 2 - 9t + 4t ^2 + 2}{9t - 4t ^2 - 2}$ \leqslant0 = сильно$
$ = сильно $\frac{4 \cdot ( t ^2 - 2t + 1 )}{ - 4t ^2 + 9t - 2}$ меньше или = 0 = сильно $\frac{( t - 1 ) ^2}{ - 4t ^2 + 9t - 2}$ меньше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t меньше $\frac{1}{4}$ ,t больше 2,t = 1. \end{array} \right.$ $\frac{t + 2}{9t - 4t ^2 - 2} \leqslant1 = сильно $\frac{t + 2 - 9t + 4t ^2 + 2}{9t - 4t ^2 - 2}$ \leqslant0 = сильно$
$ = сильно $\frac{4 \cdot ( t ^2 - 2t + 1 )}{ - 4t ^2 + 9t - 2}$ меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{( t - 1 ) ^2}{ - 4t ^2 + 9t - 2}$ меньше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t меньше $\frac{1}{4}$ ,t больше 2,t = 1. \end{array} \right.$

Вернемся к исходной переменной. Имеем:

$\left[ \begin{array}{l} 4 в степени x меньше $\frac{1}{4}$ ,4 в степени x больше 2,4 в степени x = 1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x меньше - 1,x больше $\frac{1}{2}$ ,x = 0. \end{array} \right.$

Ответ: $( - бесконечность ; - 1 ) \cup \{ 0 \} \cup ( 0,5; + бесконечность )$