Преобразуем левую часть неравенства:

$\log_{2} ^2 |x| - \log_{2} $\frac{x ^2}{2}$ = \log_{2} ^2 |x| - ( \log_{2} x ^2 - 1 ) = \log_{2} ^2 |x| - 2 \log_{2} |x| + 1$

Преобразуем правую часть: $\log_{2} 4 = 2$ и потому

$( $\frac{1}{2}$ \log_{2} 4 + \log_{4} |x| ) ^2 = ( 1 + $\frac{1}{2}$ \log_{2} |x| ) ^2$

Сделаем замену $t= \log_{2} |x|$ получим:

$t ^2 - 2t + 1 больше или = ( 1 + $\frac{t}{2}$ ) ^2 = сильно t ^2 - 2t + 1 больше или = 1 + t + $\frac{t ^2}{4}$ = сильно 3t ^2 - 12t больше или = 0 = сильно t ( t - 4 ) больше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t меньше или = 0, t больше или = 4. \end{array} \right.$

Таким образом,

$\left[ \begin{array}{l} \log_{2} |x| меньше или = 0, \log_{2} |x| больше или = 4 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше |x| меньше или = 1, |x| больше или = 16 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x меньше или = - 16, - 1 меньше или = x меньше 0, 0 меньше x меньше или = 1, x больше или = 16. \end{array} \right.$

Ответ: $( - бесконечность ; - 16 ] \cup [ - 1; 0 ) \cup ( 0; 1 ] \cup [ 16; + бесконечность )$