Решим неравенство, перейдя к = сильной системе:

$$$\begin{cases} $\frac{3}{x}$ + 2 больше 0 \\[6pt] x + 2 больше 0 \\[6pt] $\frac{2x + 3}{x ( x + 2 )}$ меньше или = $\frac{x + 1}{x ^2}$ \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} $\frac{2x + 3}{x}$ больше 0 \\[6pt] x больше - 2 \\[6pt] $\frac{x ^2 - 2}{x ^2 ( x + 2 )}$ меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \frac{x + $\frac{3}{2}$ \\[6pt] }{x} больше 0 \\[6pt] x больше - 2 \\[6pt] \frac{( x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ( x + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента )}{x ^2 ( x + 2 )} меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно 0 меньше x меньше или = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ $$$\begin{cases} $\frac{3}{x}$ + 2 больше 0 \\[6pt] x + 2 больше 0 \\[6pt] $\frac{2x + 3}{x ( x + 2 )}$ меньше или = $\frac{x + 1}{x ^2}$ \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} $\frac{2x + 3}{x}$ больше 0 \\[6pt] x больше - 2 \\[6pt] $\frac{x ^2 - 2}{x ^2 ( x + 2 )}$ меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \frac{x + $\frac{3}{2}$ \\[6pt] }{x} больше 0 \\[6pt] x больше - 2 \\[6pt] \frac{( x - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ) ( x + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента )}{x ^2 ( x + 2 )} меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно 0 меньше x меньше или = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

[рис.]
Условий существования \log ов в левой части неравенства достаточно для соблюдения ОДЗ, ввиду знака неравенства.

Ответ: $( 0; $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ]$