Преобразуем неравенство, используя свойства \log а:

$\frac{\log_{4} ( 16x в степени 4 ) + 11}{\log ^2 _4x - 9} \geqslant - 1 = сильно \frac{\log_{4} 16 + \log_{4} ( x в степени 4 ) + 11}{\log ^2 _4x - 9} \geqslant - 1 = сильно$

$ = сильно \frac{4 \log_{4} x + 13}{\log ^2 _4x - 9} + 1 \geqslant0 = сильно \frac{\log ^2 _4x + 4 \log_{4} x + 4}{\log ^2 _4x - 9} \geqslant0$

Пусть $t= \log_{4} x$ тогда

$\frac{( t + 2 ) ^2}{( t - 3 ) ( t + 3 )} \geqslant0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t меньше - 3,t= - 2,t больше 3. \end{array} \right.$

Вернемся к исходной переменной, получим:

$\left[ \begin{array}{l} \log_{4} x меньше - 3, \log_{4} x= - 2, \log_{4} x больше 3 \end{array} \right. . = сильно$ $\left[ \begin{array}{l} 0 меньше x меньше $\frac{1}{64}$ ,x= $\frac{1}{16}$ ,x больше 64. \end{array} \right.$

Ответ: $( 0; $\frac{1}{64}$ ) \cup \{ $\frac{1}{16}$ \} \cup ( 64; + бесконечность )$