Неравенство определено при $x больше 0$ $x не = 1$ $2x не = 1$ $\frac{2}{} x ^2 не = 1$ то есть при положительных х, отличных от 1, $\frac{1}{2}$ и от $\sqrt{2}$ На области определения можно использовать формулу $\frac{1}{} \log_{a} b = \log_{b} a$ что позволяет избавиться от знаменателей и записать неравенство в виде

$\log_{x} ( 2x в степени ( - 1 ) ) \cdot \log_{x} ( 2x ^2 ) \cdot \log_{х} ( 2x ) \cdot \log_{х} ( 2x в степени ( - 2 ) ) меньше 40$

Далее применим формулу $\log_{a} ( bc ) = \log_{a} и + \log_{a} c:$ если в этой формуле один из множителей b или с  — положительное число, применение формулы допустимо на ОДЗ (если b и с зависят от переменной, применение формулы может привести к потере корней). Получаем:

$( \log_{x} 2 - 1 ) ( \log_{x} 2 + 2 ) ( \log_{x} 2 + 1 ) ( \log_{x} 2 - 2 ) меньше 40 = сильно ( \log ^2 _x2 - 1 ) ( \log ^2 _x2 - 4 ) меньше 40$ $( \log_{x} 2 - 1 ) ( \log_{x} 2 + 2 ) ( \log_{x} 2 + 1 ) ( \log_{x} 2 - 2 ) меньше 40 = сильно$
$ = сильно ( \log ^2 _x2 - 1 ) ( \log ^2 _x2 - 4 ) меньше 40$

Пусть $\log ^2 _x2=t$ тогда

$( t - 1 ) ( t - 4 ) меньше 40 = сильно t ^2 - 5t - 36 меньше 0 = сильно - 4 меньше t меньше 9$

Вернёмся к исходной переменной:

$ - 4 меньше \log ^2 _x2 меньше 9 = сильно \log ^2 _x2 - 9 меньше 0 = сильно - 3 меньше \log_{x} 2 меньше 3 = сильно$
$ = сильно - 3 меньше \frac{1}{\log_{2} x} меньше 3 = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{2} x меньше - $\frac{1}{3}$ , \log_{2} x больше $\frac{1}{3}$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше x меньше $\frac{1}{корень 3 степени из 2}$ ,x больше корень 3 степени из 2 . \end{array} \right.$ $ - 4 меньше \log ^2 _x2 меньше 9 = сильно \log ^2 _x2 - 9 меньше 0 = сильно$
$ = сильно - 3 меньше \log_{x} 2 меньше 3 = сильно - 3 меньше \frac{1}{\log_{2} x} меньше 3 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{2} x меньше - $\frac{1}{3}$ , \log_{2} x больше $\frac{1}{3}$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше x меньше $\frac{1}{корень 3 степени из 2}$ ,x больше корень 3 степени из 2 . \end{array} \right.$

Осталось определить, какие из найденных решений лежат в ОДЗ. Заметим, что $\frac{1}{2} меньше корень 3 степени из: начало аргумента: $\frac{1}{2}$ конец аргумента$ и $корень 3 степени из 2 меньше \sqrt{2}$ тогда

$$$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} 0 меньше x меньше $\frac{1}{корень 3 степени из 2}$ \\[6pt] x больше корень 3 степени из 2 \end{cases}$$ . x не = $\frac{1}{2}$ ,x не = $\sqrt{2}$ \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше x меньше $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2}$ меньше x меньше $\frac{1}{корень 3 степени из 2}$ , корень 3 степени из 2 меньше x меньше $\sqrt{2}$ ,x больше $\sqrt{2}$ . \end{array} \right.$

Ответ: $( 0; $\frac{1}{2}$ ) \cup ( $\frac{1}{2}$ ; \frac{1}{} корень 3 степени из 2 ) \cup ( корень 3 степени из 2 ; $\sqrt{2}$ ) \cup ( $\sqrt{2}$ ; + бесконечность )$