Область определения неравенства задается условиями $x ^2 + 2x - 3 \geqslant0,x больше 0,x не = 1$ откуда получаем $x больше 1$ На этом множестве $\log_{x} 4 больше 0$ и данное неравенство = сильно неравенству

$\frac{\log_{x} ( $\sqrt{аргумента: x ^2 + 2x - 3}$ аргумента + 2 )}{\log_{x} 4} \cdot \log_{5} ( x ^2 + 2x - 2 ) \geqslant1$

которое, в свою очередь, = сильно неравенству

$\log_{4} ( $\sqrt{аргумента: x ^2 + 2x - 3}$ аргумента + 2 ) \cdot \log_{5} ( x ^2 + 2x - 2 ) \geqslant1$

Положив $t= $\sqrt{аргумента: x ^2 + 2x - 3}$ аргумента$ где $t \geqslant0$ получаем неравенство $\log_{4} ( t + 2 ) \cdot \log_{5} ( t ^2 + 1 ) \geqslant1$ Заметим, что при $t больше или = 0$ функция $f ( t ) = \log_{4} ( t + 2 ) \cdot \log_{5} ( t ^2 + 1 )$ возрастает (произведение двух положительных возрастающих функций) и $f ( 2 ) =1$ Таким образом, множеством решений этого неравенства является луч $t больше или = 2$
Далее имеем:

$$$\begin{cases} $\sqrt{аргумента: x ^2 + 2x - 3}$ аргумента \geqslant2 \\[6pt] x больше 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x ^2 + 2x - 7 больше или = 0 \\[6pt] x больше 1 \end{cases}$$ . = сильно x больше или = 2 $\sqrt{2}$ - 1$

Ответ: $[ 2 $\sqrt{2}$ - 1; + бесконечность )$