[рис.] а)  Так как центр окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, то точка H является серединой стороны BC. Обозначим BH = HC = a, AK = KL = LB = x, AM = MN = NC = y. Из свойств касательной и секущей получаем:

$\{ \beginalign новая строка BH ^2 = BL \cdot BK новая строка CH ^2 = CN \cdot CM \endalign .\Rightarrow \{ \beginalign новая строка a ^2 = x \cdot 2x новая строка a ^2 = y \cdot 2y \endalign .\Rightarrowa ^2 = 2x ^2 = 2y ^2 \Rightarrowx = y$

Получили, что AB  =  3x  =  AC, то есть треугольник ABC  — = бедренный. Заодно получается, что точки A, O и H лежат на одной прямой.
Что и требовалось доказать.
б)  Из пункта а) известно, что $a ^2 = 2x ^2$ откуда $a = x $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ Выразим различными способами площадь треугольника ABC.
- Через основание и высоту:

$S_ABC = $\frac{1}{2}$ \cdot AH \cdot BC = a ( R + r )$

Через все стороны и радиус описанной окружности:

$S_ABC = $\frac{AB \cdot AC \cdot BC}{4R}$ = $\frac{2a \cdot 3x \cdot 3x}{4R}$ = \frac{9ax ^2}{2R}$

[рис.]
По формуле Герона:

$S_ABC = $\sqrt{аргумента: p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c )}$ аргумента$

где

$p = $\frac{2a + 3x + 3x}{2}$ = a + 3x = x $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 3x = x ( 3 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента )$

то есть:

$S_ABC = \sqrt{аргумента: x ( 3 + $\sqrt{начало аргумента: 2}$ аргумента ) \cdot x $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot x $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot x ( 3 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента )}аргумента = x ^2 $\sqrt{аргумента: 14}$ аргумента$

Приравнивая второй и третий результат (и подставляя $a = x $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ ), получим:

$\frac{9ax ^2}{2R} = x ^2 $\sqrt{аргумента: 14}$ аргумента \Rightarrow \frac{9 \cdot x $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2R} = $\sqrt{аргумента: 14}$ аргумента \Rightarrow $\frac{x}{R}$ = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{9}$

Теперь приравняем первое и второе выражения для площади, откуда получим:

$a ( R + r ) = $\frac{9ax ^2}{2R}$ \Rightarrow $\frac{9x ^2}{2R}$ = R + r \Rightarrow$

$\frac{9x ^2}{2R ^2} = 1 + $\frac{r}{R}$ \Rightarrow $\frac{9}{2}$ \cdot ( \frac{2 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{9} ) ^2 = 1 + $\frac{r}{R}$ \Rightarrow $\frac{r}{R}$ = $\frac{14}{9}$ - 1 = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$