[рис.] а)  Построим чертеж, который должен получиться в результате, и докажем, что он верен. Введем следующие обозначения: CM = a, CN = b, MK = x, KN = y. Так как отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны, то, во-первых, MB = MK = x, ND = KN = y. Во-вторых, CB = CD, откуда: CB = CM + MB = a + x, CD = CN + ND = b + y, то есть a + x = b + y. Далее, периметр треугольника CMN равен 14, то есть a + b + x + y = 14. Подставляя сюда a + x из предыдущего равенства, получим 2(b + y) = 14, откуда b + y = 7. Следовательно, и a + x = 7. Отсюда получили, что CB = CD = 7 (что совпадает с длиной стороны квадрата), то есть точки B и D действительно являются точками касания. Тогда так как касательная перпендикулярна радиусу, а ABCD  — квадрат, то BA = CD = 7, DA = BC = 7, то есть A  — центр окружности.
Требуемое доказано

б)  Треугольники MBA и MKA равны по 3-м сторонам (BA  =  KA  =  7, BM  =  MK, AM  — общая). Тогда ∠BAM = ∠MAK. Аналогично равны треугольники KAN и DAN, откуда следует ∠KAN = ∠NAD. Обозначим ∠BAM  =  α, тогда $\angle BAK = 2 альфа ,\angle KAD = 90 ^{\circ} - 2 альфа$ откуда $\angle KAN = 45 ^{\circ} - альфа$ Тогда

$\angle MAN = \angle MAK + \angle KAN = альфа + ( 45 ^{\circ} - альфа ) = 45 ^{\circ}$

Ответ: 45.