Вокруг выпуклого четырехугольника со сторонами a, b, c, d описана окружность.
а) Докажите, что отношение его диагоналей выражается как $\frac{bc + ad}{ab + cd}$
б) Найдите площадь четырехугольника, если a = 2, b = 8, c = 12, d = 4.
а) Докажите, что отношение его диагоналей выражается как $\frac{bc + ad}{ab + cd}$
б) Найдите площадь четырехугольника, если a = 2, b = 8, c = 12, d = 4.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] Пусть ABCD — заданный четырехугольник, причем AB = a, BC = b, CD = c,
AD = d, AC = m, BD = n.
а)
$S ( ABC ) = $\frac{abm}{4R}$ ;S ( ADC ) = $\frac{cdm}{4R}$ .S ( ABCD ) = $\frac{( cd + ab ) m}{4R}$ .S ( ABD ) = \frac{adn}{4R}$ $S ( ABC ) = $\frac{abm}{4R}$ ;S ( ADC ) = $\frac{cdm}{4R}$ .S ( ABCD ) =$
$= $\frac{( cd + ab ) m}{4R}$ .S ( ABD ) = \frac{adn}{4R}$
$S ( BCD ) = \frac{bcn}{4R}$ $S ( ABCD ) = \frac{( bc + ad ) n}{4R}$
Следовательно,
$\frac{( cd + ab ) m}{4R} = $\frac{( bc + ad ) n}{4R}$ = сильно ( cd + ab ) m= ( bc + ad ) n$ $ = сильно $\frac{m}{n}$ = \frac{bc + ad}{cd + ab}$
что и требовалось доказать.
б) Пусть $\angle BAD= альфа$ тогда $\angle BCD=180 в степени ( \circ ) - альфа$
$S ( ABD ) = $\frac{1}{2}$ ad \sin альфа =4 \sin альфа ;S ( BCD ) = $\frac{1}{2}$ bc \sin ( 180 в степени ( \circ ) - альфа ) =48 \sin альфа ;S ( ABCD ) =52 \sin альфа$ $S ( ABD ) = $\frac{1}{2}$ ad \sin альфа =4 \sin альфа ;S ( BCD ) =$
$= $\frac{1}{2}$ bc \sin ( 180 в степени ( \circ ) - альфа ) =48 \sin альфа ;S ( ABCD ) =52 \sin альфа$ $S ( ABD ) = $\frac{1}{2}$ ad \sin альфа =$
$=4 \sin альфа ;S ( BCD ) = $\frac{1}{2}$ bc \sin ( 180 в степени ( \circ ) - альфа ) =$
$=48 \sin альфа ;S ( ABCD ) =52 \sin альфа$
$S ^2 ( ABCD ) =2704 \sin ^2 альфа =2704 ( 1 - \cos ^2 альфа )$
В $\Delta ABD$ по теореме \cos ов: $n ^2 =a ^2 + d ^2 - 2ad \cos альфа =4 + 16 - 16 \cos альфа =20 - 16 \cos альфа$
В $\Delta BCD$ по той же теореме: $n ^2 =b ^2 + c ^2 - 2bc \cos ( 180 в степени ( \circ ) - альфа ) =64 + 144 + 192 \cos альфа =208 + 192 \cos альфа$
Следовательно, $208 + 192 \cos альфа = 20 - 16 \cos альфа = сильно 208 \cos альфа = - 188 = сильно \cos альфа = - \frac{47}{52}$
$S ^2 ( ABCD ) =2074 ( 1 - \cos ^2 альфа ) =2704 \cdot ( 1 - $\frac{2209}{2704}$ ) =2704 - 2209=495$ $S ^2 ( ABCD ) =2074 ( 1 - \cos ^2 альфа ) =$
$=2704 \cdot ( 1 - $\frac{2209}{2704}$ ) =2704 - 2209=495$
$S ( ABCD ) = $\sqrt{аргумента: 495}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 9 \cdot 55}$ аргумента =3 $\sqrt{аргумента: 55}$ аргумента$
Ответ: $3 $\sqrt{аргумента: 55}$ аргумента$
AD = d, AC = m, BD = n.
а)
$S ( ABC ) = $\frac{abm}{4R}$ ;S ( ADC ) = $\frac{cdm}{4R}$ .S ( ABCD ) = $\frac{( cd + ab ) m}{4R}$ .S ( ABD ) = \frac{adn}{4R}$ $S ( ABC ) = $\frac{abm}{4R}$ ;S ( ADC ) = $\frac{cdm}{4R}$ .S ( ABCD ) =$
$= $\frac{( cd + ab ) m}{4R}$ .S ( ABD ) = \frac{adn}{4R}$
$S ( BCD ) = \frac{bcn}{4R}$ $S ( ABCD ) = \frac{( bc + ad ) n}{4R}$
Следовательно,
$\frac{( cd + ab ) m}{4R} = $\frac{( bc + ad ) n}{4R}$ = сильно ( cd + ab ) m= ( bc + ad ) n$ $ = сильно $\frac{m}{n}$ = \frac{bc + ad}{cd + ab}$
что и требовалось доказать.
б) Пусть $\angle BAD= альфа$ тогда $\angle BCD=180 в степени ( \circ ) - альфа$
$S ( ABD ) = $\frac{1}{2}$ ad \sin альфа =4 \sin альфа ;S ( BCD ) = $\frac{1}{2}$ bc \sin ( 180 в степени ( \circ ) - альфа ) =48 \sin альфа ;S ( ABCD ) =52 \sin альфа$ $S ( ABD ) = $\frac{1}{2}$ ad \sin альфа =4 \sin альфа ;S ( BCD ) =$
$= $\frac{1}{2}$ bc \sin ( 180 в степени ( \circ ) - альфа ) =48 \sin альфа ;S ( ABCD ) =52 \sin альфа$ $S ( ABD ) = $\frac{1}{2}$ ad \sin альфа =$
$=4 \sin альфа ;S ( BCD ) = $\frac{1}{2}$ bc \sin ( 180 в степени ( \circ ) - альфа ) =$
$=48 \sin альфа ;S ( ABCD ) =52 \sin альфа$
$S ^2 ( ABCD ) =2704 \sin ^2 альфа =2704 ( 1 - \cos ^2 альфа )$
В $\Delta ABD$ по теореме \cos ов: $n ^2 =a ^2 + d ^2 - 2ad \cos альфа =4 + 16 - 16 \cos альфа =20 - 16 \cos альфа$
В $\Delta BCD$ по той же теореме: $n ^2 =b ^2 + c ^2 - 2bc \cos ( 180 в степени ( \circ ) - альфа ) =64 + 144 + 192 \cos альфа =208 + 192 \cos альфа$
Следовательно, $208 + 192 \cos альфа = 20 - 16 \cos альфа = сильно 208 \cos альфа = - 188 = сильно \cos альфа = - \frac{47}{52}$
$S ^2 ( ABCD ) =2074 ( 1 - \cos ^2 альфа ) =2704 \cdot ( 1 - $\frac{2209}{2704}$ ) =2704 - 2209=495$ $S ^2 ( ABCD ) =2074 ( 1 - \cos ^2 альфа ) =$
$=2704 \cdot ( 1 - $\frac{2209}{2704}$ ) =2704 - 2209=495$
$S ( ABCD ) = $\sqrt{аргумента: 495}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 9 \cdot 55}$ аргумента =3 $\sqrt{аргумента: 55}$ аргумента$
Ответ: $3 $\sqrt{аргумента: 55}$ аргумента$
Правильный ответ:
$3 корень из: начало аргумента: 55 конец аргумента$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 71389 • Задание №19
Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма...
ID 65487 • Задание №6
[рис.] Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса $корень из: начало аргумента: 8 конец аргумен...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б.
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.
ИЛИ
При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б.
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.
ИЛИ
При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №15 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 68583
Решите неравенство $левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби...
ID 68584
Решите неравенство $корень из: начало аргумента: 7 минус x конец аргумента меньше дробь: числит...
ID 68585
Решите неравенство $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6x в квадрате минус 5x конец дроби больше...
ID 68586
Решите неравенство $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 2x плюс 1...
ID 68587
Решите неравенство: $левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка ум...