а)   [рис.] Обозначим ∠BAD = ∠ PAB  =  α. Поскольку ABPQ и CDPQ  — вписанные четырёхугольники.

$\angle BQP=180 ^{\circ} - альфа$

$\angle CQP=180 ^{\circ} - \angle BQP=180 ^{\circ} - ( 180 ^{\circ} - альфа ) = альфа$

$\angle ADC=\angle PDC=180 ^{\circ} - \angle PQC=180 ^{\circ} - альфа$

Значит, ∠BAD + ∠ADC  =  180°, и поэтому AB || CD. Противоположные стороны четырёхугольника ABCD попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм.

б)  Пусть R  — радиус второй (меньшей) окружности. Тогда радиус большей окружности равен 2R. По теореме \sin ов:

$BP=2 \cdot 2R \sin \angle BQP=4R \sin ( 180 ^{\circ} - альфа ) =4R \sin альфа$

$PC=2R \sin \angle CQP=2R \sin альфа$

Следовательно,

$\frac{BP}{PC} = $\frac{4R \sin альфа}{2R \sin альфа}$ =2$

Ответ: 2.