Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D, лежащих по разные стороны от прямой AB. Касательные к этим окружностям в точках C и D пересекаются в точке E.
а) Докажите, что вокруг четырехугольника ACED можно описать окружность
б) Найдите AE, если AB = 10, AC = 16, AD = 15.
а) Докажите, что вокруг четырехугольника ACED можно описать окружность
б) Найдите AE, если AB = 10, AC = 16, AD = 15.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) По теореме об угле между касательной и хордой $\angle ECB=\angle CAB$ $\angle EDB=\angle DAB$ Поэтому:
$\angle CED + \angle CAD=\angle CED + \angle ECB + \angle EDB=180 ^{\circ}$
Следовательно, четырёхугольник ACED вписан в окружность.
б) Поскольку четырёхугольник ACED вписан в окружность, углы AED и ACD равны, так как опираются на одну дугу. Аналогично, углы ECD и EAD равны. Значит, треугольники ACB и AED подобны по двум углам. Следовательно, $\frac{AC}{AE} = \frac{AB}{AD}$
$AE= $\frac{AC \cdot AD}{AB}$ = $\frac{15 \cdot 16}{10}$ =24$
Ответ: 24.
$\angle CED + \angle CAD=\angle CED + \angle ECB + \angle EDB=180 ^{\circ}$
Следовательно, четырёхугольник ACED вписан в окружность.
б) Поскольку четырёхугольник ACED вписан в окружность, углы AED и ACD равны, так как опираются на одну дугу. Аналогично, углы ECD и EAD равны. Значит, треугольники ACB и AED подобны по двум углам. Следовательно, $\frac{AC}{AE} = \frac{AB}{AD}$
$AE= $\frac{AC \cdot AD}{AB}$ = $\frac{15 \cdot 16}{10}$ =24$
Ответ: 24.
Правильный ответ:
24
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67896 • Задание №13
Решите систему неравенств $система выражений новая строка 9 в степени левая круглая скобка корень из: начало а...
ID 68882 • Задание №15
Решите неравенство: $логарифм по основанию x дробь: числитель: 2 x плюс \dfrac2, знаменатель: 5 конец дроби 5 ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №15 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 68583
Решите неравенство $левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби...
ID 68584
Решите неравенство $корень из: начало аргумента: 7 минус x конец аргумента меньше дробь: числит...
ID 68585
Решите неравенство $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6x в квадрате минус 5x конец дроби больше...
ID 68586
Решите неравенство $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 2x плюс 1...
ID 68587
Решите неравенство: $левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка ум...