Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC является хордой окружности ω радиуса 10. Вершина C лежит на диаметре окружности ω, который параллелен гипотенузе. Угол CAB равен 75°.
а) Найдите площадь треугольника ABC.
б) Найдите расстояние между центрами окружности ω и окружности, вписанной в треугольник ABC.
а) Найдите площадь треугольника ABC.
б) Найдите расстояние между центрами окружности ω и окружности, вписанной в треугольник ABC.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] Обозначим концы диаметра за D и E, основание высоты треугольника ABC, проведенной из C, за H, основание перпендикуляра из O к AB за T, центр вписанной окружности ABC за I. Пусть, далее, $x=HC$ Тогда
$HB=x\ctg 15 в степени ( \circ )$ $HA=x \text{tg} 15 в степени ( \circ )$ $TA= $\frac{1}{2}$ AB= $\frac{1}{2}$ x ( \ctg 15 в степени ( \circ ) + tg 15 в степени ( \circ ) )$ $OT=HC=x$
По теореме Пифагора для треугольника OTA получаем тогда:
$100=x ^2 + $\frac{1}{4}$ x ^2 ( \ctg 15 в степени ( \circ ) + \text{tg} 15 в степени ( \circ ) ) ^2 = сильно 100=x ^2 ( 1 + ( \frac{\text{tg} ^2 15 в степени ( \circ ) + 1}{2 \text{tg} 15 в степени ( \circ )} ) ^2 ) = сильно$ $100=x ^2 + $\frac{1}{4}$ x ^2 ( \ctg 15 в степени ( \circ ) + \text{tg} 15 в степени ( \circ ) ) ^2 = сильно$
$ = сильно 100=x ^2 ( 1 + ( \frac{\text{tg} ^2 15 в степени ( \circ ) + 1}{2 \text{tg} 15 в степени ( \circ )} ) ^2 ) = сильно$
$ = сильно 100=x ^2 ( 1 + $\frac{1}{\sin ^2 30 в степени ( \circ )}$ ) = сильно 100=5x ^2 = сильно x=2 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$
а) Имеем:
$S_ABC= $\frac{1}{2}$ CH \cdot AB= $\frac{1}{2}$ x ^2 ( \ctg 15 в степени ( \circ ) + tg 15 в степени ( \circ ) ) =x ^2 \cdot \frac{\text{tg} ^2 15 в степени ( \circ ) + 1}{2 \text{tg} 15 в степени ( \circ )} = $\frac{20}{\sin 30 в степени ( \circ )}$ =40$ $S_ABC= $\frac{1}{2}$ CH \cdot AB= $\frac{1}{2}$ x ^2 ( \ctg 15 в степени ( \circ ) + tg 15 в степени ( \circ ) ) =$
$=x ^2 \cdot \frac{\text{tg} ^2 15 в степени ( \circ ) + 1}{2 \text{tg} 15 в степени ( \circ )} = $\frac{20}{\sin 30 в степени ( \circ )}$ =40$
б) Поскольку CI — биссектриса угла ACB, $\angle ICO=\angle ICB + \angle BCO= $\frac{1}{2}$ \angle ACB + \angle CBT=45 в степени ( \circ ) + 15 в степени ( \circ ) =60 в степени ( \circ )$
Далее, ##
$r_ABC= $\frac{1}{2}$ ( AC + BC - AB ) = $\frac{1}{2}$ ( $\frac{x}{\cos 15 в степени ( \circ )}$ + $\frac{x}{\sin 15 в степени ( \circ )}$ - x \text{tg} 15 в степени ( \circ ) - x\ctg 15 в степени ( \circ ) ) =$ $r_ABC= $\frac{1}{2}$ ( AC + BC - AB ) =$
$= $\frac{1}{2}$ ( $\frac{x}{\cos 15 в степени ( \circ )}$ + $\frac{x}{\sin 15 в степени ( \circ )}$ - x \text{tg} 15 в степени ( \circ ) - x\ctg 15 в степени ( \circ ) ) =$
$= $\frac{x}{2 \sin 15 в степени ( \circ ) \cos 15 в степени ( \circ )}$ ( \sin 15 в степени ( \circ ) + \cos 15 в степени ( \circ ) - \sin ^2 15 в степени ( \circ ) - \cos ^2 15 в степени ( \circ ) ) =$
$= $\frac{x}{\sin 30 в степени ( \circ )}$ ( \sin 15 в степени ( \circ ) + \sin 75 в степени ( \circ ) - 1 ) = 2x ( 2 \sin 45 в степени ( \circ ) \cos 30 в степени ( \circ ) - 1 ) =4 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента ( \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} - 1 ) =2 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента - 4 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$ $= $\frac{x}{\sin 30 в степени ( \circ )}$ ( \sin 15 в степени ( \circ ) + \sin 75 в степени ( \circ ) - 1 ) = 2x ( 2 \sin 45 в степени ( \circ ) \cos 30 в степени ( \circ ) - 1 ) =$
$=4 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента ( \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} - 1 ) =2 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента - 4 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$ $= $\frac{x}{\sin 30 в степени ( \circ )}$ ( \sin 15 в степени ( \circ ) + \sin 75 в степени ( \circ ) - 1 ) =$
$= 2x ( 2 \sin 45 в степени ( \circ ) \cos 30 в степени ( \circ ) - 1 ) =$
$=4 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента ( \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} - 1 ) =2 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента - 4 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$
а
$CI= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента r_ABC=4 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента - 4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$
по свойствам окружности, вписанной в прямоугольный треугольник.
Наконец,
$CO=HT=AT - AH= $\frac{1}{2}$ x ( \ctg 15 в степени ( \circ ) - tg 15 в степени ( \circ ) ) =$
$=2 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента \cdot \frac{1 - \text{tg} ^2 15 в степени ( \circ )}{2 \text{tg} 15 в степени ( \circ )} =2 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента \ctg 30 в степени ( \circ ) =2 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента$
По теореме \cos ов для треугольника ICO получим:
$IO= $\sqrt{аргумента: CO ^2 + CI ^2 - CO \cdot CI}$ аргумента = \sqrt{аргумента: 16 ( 15 + 10 - 2 $\sqrt{начало аргумента: 150}$ аргумента ) + 60 - ( 120 - 8 $\sqrt{аргумента: 150}$ аргумента )}аргумента =$ $IO= $\sqrt{аргумента: CO ^2 + CI ^2 - CO \cdot CI}$ аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: 16 ( 15 + 10 - 2 $\sqrt{начало аргумента: 150}$ аргумента ) + 60 - ( 120 - 8 $\sqrt{аргумента: 150}$ аргумента )}аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: 340 - 24 $\sqrt{начало аргумента: 150}$ аргумента}аргумента = \sqrt{аргумента: 340 - 120 $\sqrt{начало аргумента: 6}$ аргумента}аргумента$
Ответ: а) 40; б) $\sqrt{аргумента: 340 - 120 $\sqrt{начало аргумента: 6}$ аргумента}аргумента$
$HB=x\ctg 15 в степени ( \circ )$ $HA=x \text{tg} 15 в степени ( \circ )$ $TA= $\frac{1}{2}$ AB= $\frac{1}{2}$ x ( \ctg 15 в степени ( \circ ) + tg 15 в степени ( \circ ) )$ $OT=HC=x$
По теореме Пифагора для треугольника OTA получаем тогда:
$100=x ^2 + $\frac{1}{4}$ x ^2 ( \ctg 15 в степени ( \circ ) + \text{tg} 15 в степени ( \circ ) ) ^2 = сильно 100=x ^2 ( 1 + ( \frac{\text{tg} ^2 15 в степени ( \circ ) + 1}{2 \text{tg} 15 в степени ( \circ )} ) ^2 ) = сильно$ $100=x ^2 + $\frac{1}{4}$ x ^2 ( \ctg 15 в степени ( \circ ) + \text{tg} 15 в степени ( \circ ) ) ^2 = сильно$
$ = сильно 100=x ^2 ( 1 + ( \frac{\text{tg} ^2 15 в степени ( \circ ) + 1}{2 \text{tg} 15 в степени ( \circ )} ) ^2 ) = сильно$
$ = сильно 100=x ^2 ( 1 + $\frac{1}{\sin ^2 30 в степени ( \circ )}$ ) = сильно 100=5x ^2 = сильно x=2 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$
а) Имеем:
$S_ABC= $\frac{1}{2}$ CH \cdot AB= $\frac{1}{2}$ x ^2 ( \ctg 15 в степени ( \circ ) + tg 15 в степени ( \circ ) ) =x ^2 \cdot \frac{\text{tg} ^2 15 в степени ( \circ ) + 1}{2 \text{tg} 15 в степени ( \circ )} = $\frac{20}{\sin 30 в степени ( \circ )}$ =40$ $S_ABC= $\frac{1}{2}$ CH \cdot AB= $\frac{1}{2}$ x ^2 ( \ctg 15 в степени ( \circ ) + tg 15 в степени ( \circ ) ) =$
$=x ^2 \cdot \frac{\text{tg} ^2 15 в степени ( \circ ) + 1}{2 \text{tg} 15 в степени ( \circ )} = $\frac{20}{\sin 30 в степени ( \circ )}$ =40$
б) Поскольку CI — биссектриса угла ACB, $\angle ICO=\angle ICB + \angle BCO= $\frac{1}{2}$ \angle ACB + \angle CBT=45 в степени ( \circ ) + 15 в степени ( \circ ) =60 в степени ( \circ )$
Далее, ##
$r_ABC= $\frac{1}{2}$ ( AC + BC - AB ) = $\frac{1}{2}$ ( $\frac{x}{\cos 15 в степени ( \circ )}$ + $\frac{x}{\sin 15 в степени ( \circ )}$ - x \text{tg} 15 в степени ( \circ ) - x\ctg 15 в степени ( \circ ) ) =$ $r_ABC= $\frac{1}{2}$ ( AC + BC - AB ) =$
$= $\frac{1}{2}$ ( $\frac{x}{\cos 15 в степени ( \circ )}$ + $\frac{x}{\sin 15 в степени ( \circ )}$ - x \text{tg} 15 в степени ( \circ ) - x\ctg 15 в степени ( \circ ) ) =$
$= $\frac{x}{2 \sin 15 в степени ( \circ ) \cos 15 в степени ( \circ )}$ ( \sin 15 в степени ( \circ ) + \cos 15 в степени ( \circ ) - \sin ^2 15 в степени ( \circ ) - \cos ^2 15 в степени ( \circ ) ) =$
$= $\frac{x}{\sin 30 в степени ( \circ )}$ ( \sin 15 в степени ( \circ ) + \sin 75 в степени ( \circ ) - 1 ) = 2x ( 2 \sin 45 в степени ( \circ ) \cos 30 в степени ( \circ ) - 1 ) =4 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента ( \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} - 1 ) =2 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента - 4 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$ $= $\frac{x}{\sin 30 в степени ( \circ )}$ ( \sin 15 в степени ( \circ ) + \sin 75 в степени ( \circ ) - 1 ) = 2x ( 2 \sin 45 в степени ( \circ ) \cos 30 в степени ( \circ ) - 1 ) =$
$=4 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента ( \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} - 1 ) =2 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента - 4 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$ $= $\frac{x}{\sin 30 в степени ( \circ )}$ ( \sin 15 в степени ( \circ ) + \sin 75 в степени ( \circ ) - 1 ) =$
$= 2x ( 2 \sin 45 в степени ( \circ ) \cos 30 в степени ( \circ ) - 1 ) =$
$=4 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента ( \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} - 1 ) =2 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента - 4 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$
а
$CI= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента r_ABC=4 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента - 4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента$
по свойствам окружности, вписанной в прямоугольный треугольник.
Наконец,
$CO=HT=AT - AH= $\frac{1}{2}$ x ( \ctg 15 в степени ( \circ ) - tg 15 в степени ( \circ ) ) =$
$=2 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента \cdot \frac{1 - \text{tg} ^2 15 в степени ( \circ )}{2 \text{tg} 15 в степени ( \circ )} =2 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента \ctg 30 в степени ( \circ ) =2 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента$
По теореме \cos ов для треугольника ICO получим:
$IO= $\sqrt{аргумента: CO ^2 + CI ^2 - CO \cdot CI}$ аргумента = \sqrt{аргумента: 16 ( 15 + 10 - 2 $\sqrt{начало аргумента: 150}$ аргумента ) + 60 - ( 120 - 8 $\sqrt{аргумента: 150}$ аргумента )}аргумента =$ $IO= $\sqrt{аргумента: CO ^2 + CI ^2 - CO \cdot CI}$ аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: 16 ( 15 + 10 - 2 $\sqrt{начало аргумента: 150}$ аргумента ) + 60 - ( 120 - 8 $\sqrt{аргумента: 150}$ аргумента )}аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: 340 - 24 $\sqrt{начало аргумента: 150}$ аргумента}аргумента = \sqrt{аргумента: 340 - 120 $\sqrt{начало аргумента: 6}$ аргумента}аргумента$
Ответ: а) 40; б) $\sqrt{аргумента: 340 - 120 $\sqrt{начало аргумента: 6}$ аргумента}аргумента$
Правильный ответ:
а) 40; б) $корень из: начало аргумента: 340 минус 120 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента конец аргумента$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 64596 • Задание №2
Килограмм орехов стоит 75 рублей. Маша купила 4 кг 400 г орехов. Сколько рублей сдачи она должна получить с 35...
ID 67234 • Задание №12
Решите неравенство $дробь: числитель: левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая с...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б.
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.
ИЛИ
При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б.
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.
ИЛИ
При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №15 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 68583
Решите неравенство $левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби...
ID 68584
Решите неравенство $корень из: начало аргумента: 7 минус x конец аргумента меньше дробь: числит...
ID 68585
Решите неравенство $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6x в квадрате минус 5x конец дроби больше...
ID 68586
Решите неравенство $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 2x плюс 1...
ID 68587
Решите неравенство: $левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка ум...