[рис.] Обозначим центры окружностей за $O_1$ и $O_2$ Пусть $\angle BAC= альфа$ Поскольку окружности касаются прямой AC, прямая $O_1A$ перпендикулярна прямой AC и прямая $O_2C$ перпендикулярна прямой AC. Вычислим теперь углы:

$\angle O_1BA=\angle O_1AB=90 в степени ( \circ ) - \angle BAC=90 в степени ( \circ ) - альфа$
$\angle O_2BC=\angle BCO_2=90 в степени ( \circ ) - \angle BCA=90 в степени ( \circ ) - ( 180 в степени ( \circ ) - \angle BAC - \angle ABC ) = альфа - 30 в степени ( \circ )$ $\angle O_2BC=\angle BCO_2=90 в степени ( \circ ) - \angle BCA=$
$=90 в степени ( \circ ) - ( 180 в степени ( \circ ) - \angle BAC - \angle ABC ) = альфа - 30 в степени ( \circ )$
$\angle O_1BO_2=\angle O_1BA + \angle ABC + \angle CBO_2=90 в степени ( \circ ) - альфа + 60 в степени ( \circ ) + альфа - 30 в степени ( \circ ) =120 в степени ( \circ )$ $\angle O_1BO_2=\angle O_1BA + \angle ABC + \angle CBO_2=$
$=90 в степени ( \circ ) - альфа + 60 в степени ( \circ ) + альфа - 30 в степени ( \circ ) =120 в степени ( \circ )$

а)  По теореме \cos ов для треугольника $O_1BO_2$ имеем:

$O_1O_2=9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 120 в степени ( \circ ) =37$

Проведем в прямоугольной трапеции $O_1ACO_2$ высоту $O_1H$ Тогда:

$O_2H=O_2C - HC=O_2C - O_1A=4 - 3=1$

и

$AC=O_1H= $\sqrt{аргумента: O_1O_2 ^2 - HO_2 ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 37 - 1}$ аргумента =6$

б)  Общая хорда двух окружностей перпендикулярна их линии центров. Поэтому она равна удвоенной высоте треугольника с вершинами в центрах окружностей и одной из их общих точек. Имеем:

$2d ( B,O_1O_2 ) =2 \cdot $\frac{2S_BO_1O_2}{O_1O_2}$ = \frac{4S_BO_1O_2}{$\sqrt{аргумента: 37}$ аргумента}$

Для нахождения площади треугольника используем формулу Герона в раскрытом виде:

$16S ^2 =2 \cdot 9 \cdot 16 + 2 \cdot 9 \cdot 37 + 2 \cdot 37 \cdot 16 - 16 ^2 - 9 ^2 - 37 ^2 =432$

откуда $S=3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ и окончательный ответ $\frac{12 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 37}$ аргумента}$

Ответ: а) 6; б) $\frac{12 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 37}$ аргумента}$