[рис.] а)  Введем координаты так, чтобы центр окружностей был в начале координат, а хорда AB была параллельна оси OY и лежала для определенности во 2 и 3 четвертях. Тогда уравнение AB это $x= - 3$ поэтому абсциссы точек A и B находятся так  — $\pm $\sqrt{аргумента: 5 ^2 - 3 ^2}$ аргумента =\pm 4$ Пусть $A ( - 3;4 )$ $B ( - 3; - 4 )$ Пусть, далее, точка C имеет координаты $a,b$ Тогда во-первых $a ^2 + b ^2 =36$ а во-вторых:

$( a + 3 ) ^2 + ( b - 4 ) ^2 + ( a + 3 ) ^2 + ( b + 4 ) ^2 =8 ^2$

(теорема Пифагора для треугольника ABC). Упрощая, получим:

$2a ^2 + 2b ^2 + 12a + 50=64$

Учитывая $a ^2 + b ^2 =36$ находим $72 + 12a + 50=64$ $b= - \frac{29}{6}$ Значит, точка C лежит левее AB, а центр окружностей правее.
Высота из вершины C будет равна $\abs - $\frac{29}{6}$ - ( - 3 ) = \frac{11}{6}$ поэтому площадь треугольника равна $\frac{1}{2} \cdot $\frac{11}{6}$ \cdot 8= \frac{22}{3}$

Ответ: $\frac{22}{3}$