Заметим, что $p_1p_2p_3=p_2 ^3$ откуда $p_2=4$ Тогда $p_1 + p_3=17, p_1p_3=16$ откуда по теореме Виета одно из чисел $p_1$ и $p_3$ = 1, а второе 16. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $p_1=1$ $p_3=16$ Если построить 63 дома, каждый из них будет иметь площадь $a= $\frac{2500}{63}$ принадлежит [ 39; 40 ]$ тогда затраты на материалы составят $a в степени ( $\frac{3}{2}$ )$ а на остальное $4a + 16a в степени ( $\frac{1}{2}$ )$ Докажем, что $a в степени ( $\frac{3}{2}$ ) меньше 4a + 16a в степени ( $\frac{1}{2}$ )$ то есть, что $a меньше 4 $\sqrt{аргумента: a}$ аргумента + 16:$ это верно, поскольку

$a меньше 40=24 + 16=4 $\sqrt{аргумента: 36}$ аргумента + 16 меньше 4 $\sqrt{аргумента: a}$ аргумента + 16$

Пусть решено строить дома площадью a м2. Их будет $\frac{2500}{a}$ штук, и за каждый придется заплатить $a в степени ( $\frac{3}{2}$ ) + 4a + 16a в степени ( $\frac{1}{2}$ )$ поэтому общие расходы на строительство составят

$2500 ( $\sqrt{аргумента: a}$ аргумента + 4 + \frac{16}{$\sqrt{аргумента: a}$ аргумента} ) =10000 ( 1 + \frac{$\sqrt{аргумента: a}$ аргумента}{4} + \frac{4}{$\sqrt{аргумента: a}$ аргумента} ) больше или = 10000 \cdot 3=30000$

Здесь мы воспользовались тем, что сумма двух взаимно обратных чисел не меньше двух. Неравенство обращается в равенство только когда оба этих числа единицы, то есть если $\sqrt{аргумента: a} аргумента =4$ $a=16$ Однако построить $\frac{2500}{16} =156,25$ домов нельзя, поскольку это нецелое число.
Заметим, что при положительных значениях переменной выражение $x + \frac{1}{x}$ растет при удалении x от единицы в любую сторону (его производная $1 - \frac{1}{x ^2}$ положительна при $x больше 1$ и отрицательна при $x принадлежит ( 0;1 ) )$ Значит, нужно выбрать a как можно ближе к 16. При этом $\frac{2500}{a}$ должно оказаться целым. Очевидно, при этом будет построено либо 156, либо 157 домов площадью $\frac{2500}{156} больше 16$ или $\frac{2500}{157} меньше 16$ м2. Осталось выяснить, какая из дробей $\frac{\sqrt{аргумента: $\frac{2500}{156}$} аргумента ,}{4}$ или $\frac{4}{\sqrt{аргумента: $\frac{2500,}{157}$} аргумента}$ меньше (они обе больше единицы, поэтому для меньшей из дробей ее сумма с обратной будет меньше). Итак, сравним числа:

$\frac{\sqrt{аргумента: $\frac{2500}{156}$} аргумента ,}{4} и \frac{4}{\sqrt{аргумента: $\frac{2500,}{157}$} аргумента} = сильно \frac{$\frac{2500}{156}$ ,}{16} и \frac{16}{$\frac{2500,}{156}$} = сильно $\frac{2500 ^2}{156 \cdot 157}$ и16 ^2 = сильно$
$ = сильно 2500 ^2 и156 \cdot 157 \cdot 16 ^2 = сильно 6250000и6269952$

Поскольку $6250000 меньше 6269952$ более выгодно будет построить 156 домов.
Случай 2: $p_1=16$ $p_3=1$ Очевидно, тогда $16a в степени ( $\frac{3}{2}$ ) больше 4a + a в степени ( $\frac{1}{2}$ )$ поэтому такой случай невозможен.

Ответ: 156 домов.