Преобразуем уравнение:

$( \ctg x + 3 ) ^2 + 2a ^3 + 3a ^2 = ( a ^2 + 2a + 3 ) ( \ctg x + 3 ) = сильно$
$ = сильно ( \ctg x + 3 ) ^2 - ( a ^2 + 2a + 3 ) ( \ctg x + 3 ) + a ^2 ( 2a + 3 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \ctg x + 3=a ^2 ,\ctg x + 3=2a + 3 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} \ctg x=a ^2 - 3,\ctg x=2a. \end{array} \right.$ $ = сильно ( \ctg x + 3 ) ^2 - ( a ^2 + 2a + 3 ) ( \ctg x + 3 ) + a ^2 ( 2a + 3 ) =0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \ctg x + 3=a ^2 ,\ctg x + 3=2a + 3 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} \ctg x=a ^2 - 3,\ctg x=2a. \end{array} \right.$

Заметим, что уравнение $\ctg x=t$ при $t\geqslant0$ имеет один корень на интервале $( - $\frac{\pi}{2}$ ; \pi )$ а при $t меньше 0$   — два корня на этом интервале. Тогда исходное уравнение имеет ровно два корня на интервале $( - $\frac{\pi}{2}$ ; \pi )$ в двух случаях: или [рис.]

$$$\begin{cases} a ^2 - 3=2a \\[6pt] 2a меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} a= - 1 \\[6pt] a=3 \end{cases}$$ . a меньше 0 \end{array} \right. . = сильно a= - 1$

или

$$$\begin{cases} a ^2 - 3\geqslant0 \\[6pt] 2a\geqslant0 \\[6pt] a ^2 - 3 не = 2a \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a больше или = $\sqrt{3}$ \\[6pt] a\geqslant0 \\[6pt] a не = 3 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} $\sqrt{3}$ меньше или = a меньше 3,a больше 3. \end{array} \right.$

Объединяя полученные значения, получаем ответ.

Ответ: $\{ - 1 \} \cup [ $\sqrt{3}$ ; 3 ) \cup ( 3; + бесконечность )$