[рис.] Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен от нуля. Чтобы найти нули числителя, получим квадратное относительно параметра уравнение и воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета:

$\frac{2 a ^2 + 3 a x + ( 4 - 3 x ) \cdot \log_{2} x - 2 a ( \log_{2} x + 2 )}{x ^2 - 3 x} =0 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2 a ^2 + 3 a x + ( 4 - 3 x ) \cdot \log_{2} x - 2 a ( \log_{2} x + 2 ) =0 \\[6pt] x не = 0 \\[6pt] x не = 3 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} a ^2 - a ( 2 - $\frac{3}{2}$ x + \log_{2} x ) + ( 2 - $\frac{3}{2}$ x ) \cdot \log_{2} x=0 \\[6pt] x не = 0 \\[6pt] x не = 3 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} a= \log_{2} x \\[6pt] a=2 - $\frac{3}{2}$ x \end{cases}$$ .x не = 3,x больше 0. \end{array} \right.$ $\frac{2 a ^2 + 3 a x + ( 4 - 3 x ) \cdot \log_{2} x - 2 a ( \log_{2} x + 2 )}{x ^2 - 3 x} =0 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2 a ^2 + 3 a x + ( 4 - 3 x ) \cdot \log_{2} x - 2 a ( \log_{2} x + 2 ) =0 \\[6pt] x не = 0 \\[6pt] x не = 3 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} a ^2 - a ( 2 - $\frac{3}{2}$ x + \log_{2} x ) + ( 2 - $\frac{3}{2}$ x ) \cdot \log_{2} x=0 \\[6pt] x не = 0 \\[6pt] x не = 3 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} a= \log_{2} x \\[6pt] a=2 - $\frac{3}{2}$ x \end{cases}$$ .x не = 3,x больше 0. \end{array} \right.$

Построим график полученной системы на отрезке [0,5; 4] в системе координат xOa. По графику определяем, что исходное уравнение имеет хотя бы одно решение на отрезке [0,5; 4] при $ - 4 меньше или = a меньше - 2,5$ $ - 2,5 меньше a меньше \log_{2} 3$ или при $\log_{2} 3 меньше a меньше или = 2$

Ответ: $[ - 4; - 2,5 ) \cup ( - 2,5; \log_{2} 3 ) \cup ( \log_{2} 3; 2 ]$