[рис.] Пусть $|x - 2|=t$ тогда уравнение принимает вид

$t=a \log_{2} t, ( * )$

где $t больше 0$ Чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, уравнение (⁎) должно иметь единственное решение.
Если $a=0$ то уравнение не имеет решений.
Если $a меньше 0$ то уравнение имеет единственное решение (см. рис.).
Если $a больше 0$ уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямая $y=t$ касается графика функции $y=a \log_{2} t$ (см. рис.), что задаётся системой соотношений:

$$$\begin{cases} новая строка t'= ( a \log_{2} t ) ' \\[6pt] новая строка t=a \log_{2} t \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 1= $\frac{a}{t \ln 2}$ \\[6pt] новая строка t=a \log_{2} t \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка t= $\frac{a}{\ln 2}$ \\[6pt] новая строка t= $\frac{a \ln t}{\ln 2}$ \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка a=t \ln 2 \\[6pt] новая строка \ln t=1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка a=e \ln 2 \\[6pt] новая строка t=e. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} новая строка t'= ( a \log_{2} t ) ' \\[6pt] новая строка t=a \log_{2} t \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 1= $\frac{a}{t \ln 2}$ \\[6pt] новая строка t=a \log_{2} t \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка t= $\frac{a}{\ln 2}$ \\[6pt] новая строка t= $\frac{a \ln t}{\ln 2}$ \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка a=t \ln 2 \\[6pt] новая строка \ln t=1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка a=e \ln 2 \\[6pt] новая строка t=e. \end{cases}$$$

Заметим, что найденное значение параметра, действительно, положительно.

Ответ: $a меньше 0$ $a=e \ln 2$