Запишем уравнение в виде $( x - 4 ) ^2 =2|x - a|$ и рассмотрим графики функций $y= ( x - 4 ) ^2$ и $y=2|x - a|$ График первой функции  — парабола, график второй функции  — угол с вершиной в точке  а. Уравнение будет иметь три различных решения, если вершина параболы совпадает с вершиной угла (рис. 1), или если одна из сторон угла касается параболы (рис. 2).

[рис.]
Рис. 1

[рис.]
Рис. 2

В первом случае $a=4$ и уравнение имеет три корня: 2, 4, 6.
Рассмотрим второй случай. Пусть правая сторона угла касается параболы. Уравнение $( x - 4 ) ^2 =2x - 2a$ должно иметь единственное решение. Приведём уравнение к стандартному виду: $x ^2 - 10x + 16 + 2a=0$ Из равенства нулю дискриминанта получаем $25 - ( 16 + 2a ) =0$ откуда $a=4,5$ Если же параболы касается левая сторона угла, получаем уравнение

$( x - 4 ) ^2 =2a - 2x$ $x ^2 - 6x + 16 - 2a$

Оно имеет единственное решение, только если $a=3,5$

Ответ: 3,5; 4; 4,5.

Приведем решение, основанное на идее Елизаветы Зелёненькой (Москва).
Построим график заданного уравнения в системе координат xOa. Для этого раскроем модуль:

$( x - 4 ) ^2 =2|x - a| = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} x - a больше или = 0 \\[6pt] x ^2 - 8x + 16 =2 ( x - a ) \end{cases}$$ . $$\begin{cases} x - a меньше 0 \\[6pt] x ^2 - 8x + 16 = - 2 ( x - a ) \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} x больше или = a \\[6pt] a= - $\frac{x ^2}{2}$ + 5x - 8 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} x меньше a \\[6pt] a= $\frac{x ^2}{2}$ - 3x + 8. \end{cases}$$ . \end{array} \right.$

Изобразим множество точек, удовлетворяющих полученным соотношениям, в плоскости xOa. Прямая, задаваемая уравнением a  =  x, разбивает координатную плоскость на две полуплоскости. Назовем эту прямую l.
Графиком функции $a ( x ) = - $\frac{x ^2}{2}$ + 5x - 8$ является парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке с координатами $( 5; 4,5 )$ Графиком функции $a ( x ) = $\frac{x ^2}{2}$ - 3 x + 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке с координатами $( 3; 3,5 )$ В силу справедливости неравенств

[рис.]
$ - $\frac{x ^2}{2}$ + 5x - 8 меньше или = x = сильно - x ^2 + 10x - 16 меньше или = 2x = сильно ( x - 4 ) ^2 больше или = 0$
$\frac{x ^2}{2} - 3x + 8 больше или = x = сильно x ^2 - 6x + 16 больше или = 2x = сильно ( x - 4 ) ^2 больше или = 0$

первая из парабол лежит целиком ниже прямой l, а вторая лежит целиком выше этой прямой. Заметим также, что в силу сказанного точка с координатами $( 4; 4 )$ является единственной общей точкой этих парабол и прямой l (см. рис.).
Определим теперь, при каких значениях параметра горизонтальные прямые будут иметь с построенным графиком исходного уравнения ровно 3 общие точки. Это прямые, задаваемые уравнениями а  =  3,5 и а  =  4,5, проходящие через вершины построенных парабол, и прямая задаваемая уравнением а  =  4, проходящая через точку их касания.

Ответ: а  =  3,5, а  =  4, а  =  4,5.

Приведем решение Святослава Горбатова.
[рис.]
Рассмотрим функцию $f ( x ) =x ^2 - 8x - 2\left|x - a| + 16$ Раскроем модуль:

$f ( x ) =\begincases x ^2 - 10x + 2a + 16, x больше или = a x ^2 - 6x - 2a + 16, x меньше a\endcases$

Заметим, что при любом раскрытии модуля абсциссы вершин парабол не зависят от параметра a. При $x больше или = a$ задана парабола с вершиной $( 5;2a - 9 )$ при $x меньше a$   — парабола с вершиной $( 3; - 2a + 7 )$
Уравнение $f ( x ) =0$ может иметь 3 различных корня, только если $3 меньше a меньше 5$ (в противном случае  — не более 2 корней). Тогда либо $f ( a ) =0$ либо ровно одна из вершин парабол находится на оси Ox, то есть или $2a - 9=0$ или $7 - 2a=0$
Получаем:

$\begincases3 меньше a меньше 5 [ \begingathered f ( a ) =0, 2a - 9=0, 7 - 2a=0 \endgathered . \endcases = сильно [ \begingathered a=4, a=4,5, a=3,5. \endgathered$

Отдельно заметим, что вершины обеих парабол не могут одновременно располагаться на оси Ox, так как система

$$$\begin{cases} 2a - 9=0 \\[6pt] - 2a + 7=0 \end{cases}$$$

не имеет решений.

Ответ: $\{ 3,5; 4; 4,5 \}$