Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$\sqrt{аргумента: x в степени 4 - 4x ^2 + 9a ^2} аргумента =x ^2 + 2x - 3a$
имеет ровно 3 корня.
$\sqrt{аргумента: x в степени 4 - 4x ^2 + 9a ^2} аргумента =x ^2 + 2x - 3a$
имеет ровно 3 корня.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Уравнение = сильно системе
$$$\begin{cases} x в степени 4 - 4x ^2 + 9a ^2 =x в степени 4 + 4x ^2 + 9a ^2 + 4x ^3 - 6ax ^2 - 12ax \\[6pt] x ^2 + 2x - 3a\geqslant0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 3ax ( x + 2 ) =2x ^2 ( x + 2 ) \\[6pt] x ^2 + 2x - 3a\geqslant0. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} x в степени 4 - 4x ^2 + 9a ^2 =x в степени 4 + 4x ^2 + 9a ^2 + 4x ^3 - 6ax ^2 - 12ax \\[6pt] x ^2 + 2x - 3a\geqslant0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 3ax ( x + 2 ) =2x ^2 ( x + 2 ) \\[6pt] x ^2 + 2x - 3a\geqslant0. \end{cases}$$$
Из уравнения получаем $x=0$ $x= - 2$ и $x= \frac{3a}{2}$ Чтобы уравнение имело три различных корня, требуется, чтобы при $x=0$ $x= - 2$ и $x= \frac{3a}{2}$ выполнялось неравенство $x ^2 + 2x - 3a\geqslant0$ а также чтобы были выполнены условия $\frac{3a}{2} не = - 2$ и $\frac{3a}{2} не = 0$ Получаем систему неравенств:
$$$\begin{cases} ( - 2 ) ^2 - 4 - 3a\geqslant0 \\[6pt] 0 ^2 + 0 - 3a\geqslant0 \\[6pt] $\frac{9}{4}$ a ^2 + 3a - 3a\geqslant0 \\[6pt] $\frac{3a}{2}$ не = - 2 \\[6pt] $\frac{3a}{2}$ не = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a\leqslant0 \\[6pt] a не = - $\frac{4}{3}$ \\[6pt] a не = 0 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} a меньше - $\frac{4}{3}$ , - $\frac{4}{3}$ меньше a меньше 0. \end{array} \right.$
Ответ: $a меньше - $\frac{4}{3}$ , - $\frac{4}{3}$ меньше a меньше 0$
$$$\begin{cases} x в степени 4 - 4x ^2 + 9a ^2 =x в степени 4 + 4x ^2 + 9a ^2 + 4x ^3 - 6ax ^2 - 12ax \\[6pt] x ^2 + 2x - 3a\geqslant0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 3ax ( x + 2 ) =2x ^2 ( x + 2 ) \\[6pt] x ^2 + 2x - 3a\geqslant0. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} x в степени 4 - 4x ^2 + 9a ^2 =x в степени 4 + 4x ^2 + 9a ^2 + 4x ^3 - 6ax ^2 - 12ax \\[6pt] x ^2 + 2x - 3a\geqslant0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 3ax ( x + 2 ) =2x ^2 ( x + 2 ) \\[6pt] x ^2 + 2x - 3a\geqslant0. \end{cases}$$$
Из уравнения получаем $x=0$ $x= - 2$ и $x= \frac{3a}{2}$ Чтобы уравнение имело три различных корня, требуется, чтобы при $x=0$ $x= - 2$ и $x= \frac{3a}{2}$ выполнялось неравенство $x ^2 + 2x - 3a\geqslant0$ а также чтобы были выполнены условия $\frac{3a}{2} не = - 2$ и $\frac{3a}{2} не = 0$ Получаем систему неравенств:
$$$\begin{cases} ( - 2 ) ^2 - 4 - 3a\geqslant0 \\[6pt] 0 ^2 + 0 - 3a\geqslant0 \\[6pt] $\frac{9}{4}$ a ^2 + 3a - 3a\geqslant0 \\[6pt] $\frac{3a}{2}$ не = - 2 \\[6pt] $\frac{3a}{2}$ не = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a\leqslant0 \\[6pt] a не = - $\frac{4}{3}$ \\[6pt] a не = 0 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} a меньше - $\frac{4}{3}$ , - $\frac{4}{3}$ меньше a меньше 0. \end{array} \right.$
Ответ: $a меньше - $\frac{4}{3}$ , - $\frac{4}{3}$ меньше a меньше 0$
Правильный ответ:
$a меньше минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби , минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби меньше a меньше 0$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67801 • Задание №13
а) Решите уравнение $дробь: числитель: 16 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая ск...
ID 64982 • Задание №3
[рис.] Площадь основания конуса равна 16π, высота — 6. Найдите площадь осевого сечения конуса....
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ | 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только одной точкой $a=0$ или $a= минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби$
| 3
С помощью верного рассуждения получен промежуток $левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка$ множества значений a
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения
| 2
Получены корни уравнения $x в степени 4 минус 4x в квадрате плюс 9a в квадрате = левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 3a правая круглая скобка в квадрате :$ $x=0$ $x= минус 2$ $x= дробь: числитель: 3a, знаменатель: 2 конец дроби$ и задача верно сведена к исследованию полученных корней при условии $x в квадрате плюс 2x минус 3a больше 0$ $левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 3a\geqslant0 правая круглая скобка$ | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ | 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только одной точкой $a=0$ или $a= минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби$
| 3
С помощью верного рассуждения получен промежуток $левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка$ множества значений a
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения
| 2
Получены корни уравнения $x в степени 4 минус 4x в квадрате плюс 9a в квадрате = левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 3a правая круглая скобка в квадрате :$ $x=0$ $x= минус 2$ $x= дробь: числитель: 3a, знаменатель: 2 конец дроби$ и задача верно сведена к исследованию полученных корней при условии $x в квадрате плюс 2x минус 3a больше 0$ $левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 3a\geqslant0 правая круглая скобка$ | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
🔗 Другие задания линии №18 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 70718
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: 6k минус левая круг...
ID 70719
Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение $логарифм по основанию левая круглая с...
ID 70720
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка логарифм по основанию 8 ле...
ID 70721
Найдите наименьшее натуральное значение a, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим...
ID 70722
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс ...