Заметим, что функция $f ( x ) = $\sqrt{аргумента: x + 2a - 1}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: x - a}$ аргумента$ неограниченно возрастает на области определения. Поэтому уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда наименьшее значение функции f(x) не превосходит единицы.
Заметим, что $x + 2a - 1=x - a$ при $a= \frac{1}{3}$ Рассмотрим два случая: $a больше или = \frac{1}{3}$ и $a меньше \frac{1}{3}$ При $a больше или = \frac{1}{3}$ функция f(x) определена на промежутке $[ a; + бесконечность )$ и ее наименьшее значение = $f ( a ) = $\sqrt{аргумента: 3a - 1}$ аргумента$ Получаем неравенство $\sqrt{аргумента: 3a - 1} аргумента \leqslant1$ откуда $\frac{1}{3} меньше или = a меньше или = \frac{2}{3}$
При $a меньше \frac{1}{3}$ функция f(x) определена на промежутке $[ 1 - 2a; + бесконечность )$ и ее наименьшее значение = $f ( 1 - 2a ) = $\sqrt{аргумента: 1 - 3a}$ аргумента$ Получаем неравенство $\sqrt{аргумента: 1 - 3a} аргумента \leqslant1$ откуда $0 меньше или = a меньше или = \frac{1}{3}$ Учитывая условие $a меньше \frac{1}{3}$ получаем $0 меньше или = a меньше \frac{1}{3}$
Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы один корень при $0 меньше или = a меньше или = \frac{2}{3}$

Ответ: $0 меньше или = a меньше или = \frac{2}{3}$

Приведем решение Василия Полинова (Москва).
Разность $\sqrt{аргумента: x + 2a - 1} аргумента - $\sqrt{аргумента: x - a}$ аргумента$ обращается в нуль при $a = \frac{1}{3}$ При таком значении параметра уравнение принимает вид $2 \sqrt{аргумента: x - $\frac{1}{3}$} аргумента = 1$ и имеет единственное решение. При $a не = \frac{1}{3}$ разность корней отлична от нуля, а потому можно \cdot нее обе части исходного уравнения, перейдя к = сильному уравнению

$( $\sqrt{аргумента: x + 2 a - 1}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: x - a}$ аргумента ) ( $\sqrt{аргумента: x + 2 a - 1}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: x - a}$ аргумента ) = $\sqrt{аргумента: x + 2 a - 1}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: x - a}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 3 a - 1= $\sqrt{аргумента: x + 2 a - 1}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: x - a}$ аргумента$

Таким образом, исходное уравнение можно записать в виде = сильной системы:

$$$\begin{cases} $\sqrt{аргумента: x + 2a - 1}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: x - a}$ аргумента = 1 \\[6pt] $\sqrt{аргумента: x + 2 a - 1}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: x - a}$ аргумента =3 a - 1. \end{cases}$$$

Складывая и вычитая уравнения системы, получаем = сильную ей систему:

$$$\begin{cases} 2 $\sqrt{аргумента: x + 2 a - 1}$ аргумента = 3a \\[6pt] \qquad ( 1 ) 2 $\sqrt{аргумента: x - a}$ аргумента = 2 - 3a. \qquad ( 2 ) \end{cases}$$$

В силу возрастания левых частей уравнений (1) и (2) каждое из этих уравнений имеет единственное решение для любых неотрицательных значений их правых частей, то есть соответственно при $a больше или = 0$ и при $a меньше или = \frac{2}{3}$ Ясно, что при $0 меньше или = a меньше или = \frac{2}{3}$ после возведения в квадрат корни уравнений (1) и (2) будут принадлежать ОДЗ, совпадут и дадут единственное решение исходного уравнения. При прочих значениях параметра исходное уравнение корней не имеет.