Запишем уравнение в виде $\sqrt{аргумента: 5 - 7x} аргумента \cdot ( \ln ( 9x ^2 - a ^2 ) - \ln ( 3x + a ) )$ и рассмотрим два случая.
Первый случай: $\sqrt{аргумента: 5 - 7x} аргумента =0 = сильно x= \frac{5}{7}$ при выполнении условий

$$$\begin{cases} 9x ^2 - a ^2 больше 0 \\[6pt] 3x + a больше 0 \end{cases}$$$

Имеем:

$$$\begin{cases} x= $\frac{5}{7}$ \\[6pt] $\frac{9 \cdot 25}{49}$ - a ^2 больше 0 \\[6pt] $\frac{3 \cdot 5}{7}$ + a больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x= $\frac{5}{7}$ \\[6pt] ( 7a - 15 ) ( 7a + 15 ) меньше 0 \\[6pt] a больше - $\frac{15}{7}$ . \end{cases}$$$

Для первого случая получаем: $ - $\frac{15}{7}$ меньше a меньше \frac{15}{7}$
Второй случай: $\ln ( 9x ^2 - a ^2 ) =\ln ( 3x + a )$ при условии $x меньше или = \frac{5}{7}$
Имеем:

$$$\begin{cases} 9x ^2 - a ^2 =3x + a \\[6pt] 3x + a больше 0 \\[6pt] x меньше или = $\frac{5}{7}$ \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} ( 3x + a ) ( 3x - a - 1 ) =0 \\[6pt] 3x + a больше 0 \\[6pt] x меньше или = $\frac{5}{7}$ \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x меньше или = $\frac{5}{7}$ \\[6pt] 3x + a больше 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} x= - $\frac{a}{3}$ \\[6pt] x= $\frac{a + 1}{3}$ \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$ $$$\begin{cases} 9x ^2 - a ^2 =3x + a \\[6pt] 3x + a больше 0 \\[6pt] x меньше или = $\frac{5}{7}$ \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} ( 3x + a ) ( 3x - a - 1 ) =0 \\[6pt] 3x + a больше 0 \\[6pt] x меньше или = $\frac{5}{7}$ \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x меньше или = $\frac{5}{7}$ \\[6pt] 3x + a больше 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} x= - $\frac{a}{3}$ \\[6pt] x= $\frac{a + 1}{3}$ \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} x= - \frac{a}3 \\[6pt] \frac{a}3 больше или = $\frac{числитель: 5}{7}$ \\[6pt] - 3 \cdot $\frac{a}{3}$ ) + a больше 0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} x= $\frac{a + 1}{3}$ \\[6pt] $\frac{1 + a}{3}$ меньше или = $\frac{5}{7}$ \\[6pt] 3 \cdot $\frac{1 + a}{3}$ + a больше 0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} x= - $\frac{a}{3}$ \\[6pt] a больше или = $\frac{15}{7}$ \\[6pt] 0 \cdot a больше 0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} x= \frac{{}{a} + 1 \\[6pt] }{3} \\[6pt] a меньше или = $\frac{8}{7}$ \\[6pt] a больше - $\frac{1}{2}$ \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} - $\frac{1}{2}$ меньше a меньше или = $\frac{8}{7}$ \\[6pt] x= \frac{{}{a} + 1 \\[6pt] }{3} . \end{cases}$$$

Корни уравнения $x= \frac{5}{7}$ и $x= \frac{a + 1}{3}$ совпадают при $a= \frac{8}{7}$
Интервал из первого случая полностью включает в себя полуинтервал из второго случая, а решение нам требуется только одно, поэтому исходное уравнение имеет ровно один корень при $ - $\frac{15}{7}$ меньше a меньше или = - \frac{1}{2}$ и $\frac{8}{7} меньше или = a меньше \frac{15}{7}$

Ответ: $( - $\frac{15}{7}$ ; - $\frac{1}{2}$ ] \cup [ $\frac{8}{7}$ ; $\frac{15}{7}$ )$