Запишем уравнение в виде [рис.]

$4x - x ^2 + 7 - 4 $\sqrt{аргумента: 4x - x ^2}$ аргумента =a ^2 + 2a$

и сделаем замены $\sqrt{аргумента: 4x - x ^2} аргумента =t$ и $a ^2 + 2a=b$ Тогда уравнение примет вид

$t ^2 - 4t + 7=b$     (⁎)

Заметим, что $0 меньше или = t= $\sqrt{аргумента: 4x - x ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 4 - 4 + 4x - x ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 4 - ( 2 - x ) ^2}$ аргумента меньше или = 2$ Значит, исходное уравнение имеет хотя бы одно решение, если уравнение (⁎) имеет хотя бы одно решение на отрезке $[ 0;2 ]$
Построим график уравнения (⁎) на отрезке $[ 0;2 ]$ в системе координат tOb (см. рис. выше). Уравнение (⁎) имеет корни на отрезке $[ 0;2 ]$ при $3 меньше или = b\leqslant7$ Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при $3 меньше или = a ^2 + 2a\leqslant7$
[рис.]
Решим это двойное неравенство:

$3 меньше или = a ^2 + 2a\leqslant7 = сильно $$\begin{cases} a ^2 + 2a\geqslant3 \\[6pt] a ^2 + 2a\leqslant7 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a ^2 + 2a - 3\geqslant0 \\[6pt] a ^2 + 2a - 7\leqslant0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} a\leqslant - 3 \\[6pt] a\geqslant1 \end{cases}$$ . - 1 - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше или = a меньше или = - 1 + 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} - 1 - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше или = a меньше или = - 3,1 меньше или = a меньше или = - 1 + 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента . \end{array} \right.$

Изложим это решение иначе.
Пусть $t= $\sqrt{аргумента: 4x - x ^2}$ аргумента$ (⁎), тогда исходное уравнение можно записать в виде $t ^2 - 4t + 7=a ^2 + 2a$ или

$( t - 2 ) ^2 =a ^2 + 2a - 3$    (⁎⁎).

Оценим левые части уравнений (⁎) и (⁎⁎). [рис.]
В силу цепочки соотношений

$t= $\sqrt{аргумента: 4x - x ^2}$ аргумента = сильно $$\begin{cases} t ^2 =4x - x ^2 \\[6pt] t\geqslant0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} t ^2 + x ^2 - 4x + 4=4 \\[6pt] t\geqslant0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} ( x - 2 ) ^2 + t ^2 =2 ^2 \\[6pt] t\geqslant0 \end{cases}$$$ $t= $\sqrt{аргумента: 4x - x ^2}$ аргумента = сильно $$\begin{cases} t ^2 =4x - x ^2 \\[6pt] t\geqslant0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} t ^2 + x ^2 - 4x + 4=4 \\[6pt] t\geqslant0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} ( x - 2 ) ^2 + t ^2 =2 ^2 \\[6pt] t\geqslant0 \end{cases}$$$

графиком уравнения (⁎) является полуокружность с центром в точке O(2; 0) и радиусом 2. Это уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда $0 меньше или = t меньше или = 2$ (см. рис.).
При найденных значениях t справедливы оценки

$ - 2 меньше или = t - 2 \leqslant0 = сильно 0\leqslant ( t - 2 ) ^2 \leqslant4$

Чтобы уравнение (⁎⁎) имело решения, его правая часть должна лежать в тех же границах:

$0 меньше или = a ^2 + 2a - 3 меньше или = 4 = сильно 4 меньше или = ( a + 1 ) ^2 меньше или = 8$

откуда

$4\leqslant ( a + 1 ) ^2 \leqslant8 = сильно 2\leqslant|a + 1|\leqslant2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = сильно \left[ \begin{array}{l} - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше или = a + 1\leqslant - 2,2 меньше или = a + 1\leqslant2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 1 меньше или = a\leqslant - 3,1 меньше или = a меньше или = 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 1. \end{array} \right.$ $4\leqslant ( a + 1 ) ^2 \leqslant8 = сильно 2\leqslant|a + 1|\leqslant2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента меньше или = a + 1\leqslant - 2,2 меньше или = a + 1\leqslant2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 1 меньше или = a\leqslant - 3,1 меньше или = a меньше или = 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 1. \end{array} \right.$

Ответ: $[ - 1 - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ; - 3 ] \cup [ 1; - 1 + 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ]$