Уравнение имеет смысл при

$4 a - a ^2 - 3 больше или = 0 = сильно ( a - 1 ) ( a - 3 ) меньше или = 0 = сильно 1 меньше или = a меньше или = 3. \qquad ( * )$

При таких значениях параметра уравнение = сильно совокупности

$\left[ \begin{array}{l} x=2 - $\sqrt{аргумента: 4 a - a ^2 - 3}$ аргумента , $\sqrt{аргумента: ( x - 3 ) ^2 + a ^2}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: ( x - 2 ) ^2 + ( a - 1 ) ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента , x=2. \end{array} \right.$

Рассмотрим второе уравнение совокупности. Геометрический смысл уравнения состоит в том, что в системе координат xOa сумма расстояний от точки $( x;a )$ до точек $( 3;0 )$ и $( 2;1 )$ = $\sqrt{2}$ Поскольку расстояние между точками $( 3;0 )$ и $( 2;1 )$ тоже = $\sqrt{2}$ это означает, что точка $( x;a )$ должна лежать на отрезке, соединяющем точки $( 3;0 )$ и $( 2;1 )$ Условию (⁎) удовлетворяет только одна точка этого отрезка  — точка $( 2;1 )$ принадлежащая также и прямой $x=2$ задаваемой третьим уравнением совокупности. Таким образом, второе уравнение совокупности можно исключить, без потери или приобретения решений. Имеем:

$\left[ \begin{array}{l} x=2 - $\sqrt{аргумента: 4 a - a ^2 - 3}$ аргумента , x=2. \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x - 2= - $\sqrt{аргумента: 1 - ( a - 2 ) ^2}$ аргумента , x=2. \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} ( x - 2 ) ^2 + ( a - 2 ) ^2 =1 \\[6pt] x=2 \end{cases}$$ . x меньше или = 2, 1 меньше или = a меньше или = 3. \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l} x=2 - $\sqrt{аргумента: 4 a - a ^2 - 3}$ аргумента , x=2. \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x - 2= - $\sqrt{аргумента: 1 - ( a - 2 ) ^2}$ аргумента , x=2. \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} ( x - 2 ) ^2 + ( a - 2 ) ^2 =1 \\[6pt] x=2 \end{cases}$$ . x меньше или = 2, 1 меньше или = a меньше или = 3. \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l} x=2 - $\sqrt{аргумента: 4 a - a ^2 - 3}$ аргумента , x=2. \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} x - 2= - $\sqrt{аргумента: 1 - ( a - 2 ) ^2}$ аргумента , x=2. \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} ( x - 2 ) ^2 + ( a - 2 ) ^2 =1 \\[6pt] x=2 \end{cases}$$ . x меньше или = 2, 1 меньше или = a меньше или = 3. \end{array} \right.$

[рис.]
Графиком полученной системы на плоскости xOa является объединение левой полуокружности радиусом 1 с центром в точке $( 2; 2 )$ и отрезка AB прямой $x=2$ (выделено оранжевым). Анализируя построенный график получаем, что уравнение имеет не менее двух решений на отрезке [1,5; 2,5] (полоса, ограниченная прямыми $x=1,5$ и $x=2,5$ выделена зеленым) при $1 меньше a меньше или = a_1$ и при $a_2 меньше или = a меньше 3$ где a1 и a2 соответственно  — ординаты точек

$C ( 2 - $\frac{1}{2}$ ; 2 - \frac{$\sqrt{3}$}{2} )$
и
$D ( 2 - $\frac{1}{2}$ ; 2 + \frac{$\sqrt{3}$}{2} )$

пересечения дуги окружности с прямой $x=1,5$
Таким образом, исходное уравнение имеет не менее двух решений на отрезке [1,5; 2,5] при $1 меньше a меньше или = 2 - \frac{$\sqrt{3}$}{2}$ и при $2 + \frac{$\sqrt{3}$}{2} меньше или = a меньше 3$

Ответ: $( 1; 2 - \frac{$\sqrt{3}$}{2} ] \cup [ 2 + \frac{$\sqrt{3}$}{2} ; 3 )$