Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$\sqrt{аргумента: 2a ^2 + 5ax - 3x ^2} аргумента = $\sqrt{аргумента: 16x - x ^2 + 4a ^2 - 2a - 40}$ аргумента$
имеет единственный корень на отрезке [0; 8].
$\sqrt{аргумента: 2a ^2 + 5ax - 3x ^2} аргумента = $\sqrt{аргумента: 16x - x ^2 + 4a ^2 - 2a - 40}$ аргумента$
имеет единственный корень на отрезке [0; 8].
💡 Пошаговый разбор и решение:
Преобразуем уравнение:
$\sqrt{аргумента: 2a ^2 + 5ax - 3x ^2} аргумента = $\sqrt{аргумента: 16x - x ^2 + 4a ^2 - 2a - 40}$ аргумента = сильно $$\begin{cases} 2a ^2 + 5ax - 3x ^2 =16x - x ^2 + 4a ^2 - 2a - 40 \\[6pt] 2a ^2 + 5ax - 3x ^2 больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2a ^2 - 5ax + 2x ^2 - 2a + 16x - 40=0 \\[6pt] ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x ^2 - ( $\frac{5}{2}$ a - 8 ) x + ( 2a - 10 ) \cdot ( $\frac{a}{2}$ + 2 ) =0 \\[6pt] ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{a}{2}$ + 2 \\[6pt] x=2a - 10 \end{cases}$$ . ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} a=2x - 4 \\[6pt] a= $\frac{x}{2}$ + 5 \end{cases}$$ . ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0. \end{array} \right.$ $\sqrt{аргумента: 2a ^2 + 5ax - 3x ^2} аргумента = $\sqrt{аргумента: 16x - x ^2 + 4a ^2 - 2a - 40}$ аргумента = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2a ^2 + 5ax - 3x ^2 =16x - x ^2 + 4a ^2 - 2a - 40 \\[6pt] 2a ^2 + 5ax - 3x ^2 больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2a ^2 - 5ax + 2x ^2 - 2a + 16x - 40=0 \\[6pt] ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ^2 - ( $\frac{5}{2}$ a - 8 ) x + ( 2a - 10 ) \cdot ( $\frac{a}{2}$ + 2 ) =0 \\[6pt] ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{a}{2}$ + 2 \\[6pt] x=2a - 10 \end{cases}$$ . ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} a=2x - 4 \\[6pt] a= $\frac{x}{2}$ + 5 \end{cases}$$ . ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0. \end{array} \right.$ $\sqrt{аргумента: 2a ^2 + 5ax - 3x ^2} аргумента = $\sqrt{аргумента: 16x - x ^2 + 4a ^2 - 2a - 40}$ аргумента = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2a ^2 + 5ax - 3x ^2 =16x - x ^2 + 4a ^2 - 2a - 40 \\[6pt] 2a ^2 + 5ax - 3x ^2 больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2a ^2 - 5ax + 2x ^2 - 2a + 16x - 40=0 \\[6pt] ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ^2 - ( $\frac{5}{2}$ a - 8 ) x + ( 2a - 10 ) \cdot ( $\frac{a}{2}$ + 2 ) =0 \\[6pt] ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{a}{2}$ + 2 \\[6pt] x=2a - 10 \end{cases}$$ . ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} a=2x - 4 \\[6pt] a= $\frac{x}{2}$ + 5 \end{cases}$$ . ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0. \end{array} \right.$
[рис.]
Изобразим график полученной системы в системе координат xOa на отрезке [0; 8]. Неравенство задаёт два вертикальных угла, ограниченных прямыми $a= - 3x$ и $a= \frac{x}{2}$ (выделено оранжевым). Уравнения задают прямые, при этом решением системы являются только лучи лучи этих прямых, лежащие в соответствующих вертикальных углах (выделено синим). Отрезок [0; 8] задает вертикальную полосу (выделено зелёным).
Найдём координаты точек A и B, решив системы уравнений. Для точки А:
$$$\begin{cases} a=2x - 4 \\[6pt] a= - 3x \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a= - $\frac{12}{5}$ \\[6pt] x= $\frac{4}{5}$ \end{cases}$$$
Для точки B:
$$$\begin{cases} a=2x - 4 \\[6pt] a= $\frac{x}{2}$ \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a= $\frac{4}{3}$ \\[6pt] x= $\frac{8}{3}$ . \end{cases}$$$
Найдём координаты точки пересечения прямых $a=2x - 4$ и $a= $\frac{x}{2}$ + 5$ :
$$$\begin{cases} a=2x - 4 \\[6pt] a= $\frac{x}{2}$ + 5 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a=8 \\[6pt] x=6. \end{cases}$$$
Заметим, что прямая $a=2x - 4$ проходит через точки $( 0; - 4 )$ и $( 8; 12 )$ а прямая $a= $\frac{x}{2}$ + 5$ — через точки $( 0; 5 )$ и $( 8; 9 )$
Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень на отрезке [0; 8] при $ - 4 меньше или = a меньше или = - \frac{12}{5}$ $\frac{4}{3} меньше или = a меньше 5$ $a=8$ и при $9 меньше a меньше или = 12$
Ответ: $[ - 4; - $\frac{12}{5}$ ] \cup [ $\frac{4}{3}$ ; 5 ) \cup \{ 8 \} \cup ( 9; 12 ]$
$\sqrt{аргумента: 2a ^2 + 5ax - 3x ^2} аргумента = $\sqrt{аргумента: 16x - x ^2 + 4a ^2 - 2a - 40}$ аргумента = сильно $$\begin{cases} 2a ^2 + 5ax - 3x ^2 =16x - x ^2 + 4a ^2 - 2a - 40 \\[6pt] 2a ^2 + 5ax - 3x ^2 больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2a ^2 - 5ax + 2x ^2 - 2a + 16x - 40=0 \\[6pt] ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x ^2 - ( $\frac{5}{2}$ a - 8 ) x + ( 2a - 10 ) \cdot ( $\frac{a}{2}$ + 2 ) =0 \\[6pt] ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{a}{2}$ + 2 \\[6pt] x=2a - 10 \end{cases}$$ . ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} a=2x - 4 \\[6pt] a= $\frac{x}{2}$ + 5 \end{cases}$$ . ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0. \end{array} \right.$ $\sqrt{аргумента: 2a ^2 + 5ax - 3x ^2} аргумента = $\sqrt{аргумента: 16x - x ^2 + 4a ^2 - 2a - 40}$ аргумента = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2a ^2 + 5ax - 3x ^2 =16x - x ^2 + 4a ^2 - 2a - 40 \\[6pt] 2a ^2 + 5ax - 3x ^2 больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2a ^2 - 5ax + 2x ^2 - 2a + 16x - 40=0 \\[6pt] ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ^2 - ( $\frac{5}{2}$ a - 8 ) x + ( 2a - 10 ) \cdot ( $\frac{a}{2}$ + 2 ) =0 \\[6pt] ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{a}{2}$ + 2 \\[6pt] x=2a - 10 \end{cases}$$ . ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} a=2x - 4 \\[6pt] a= $\frac{x}{2}$ + 5 \end{cases}$$ . ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0. \end{array} \right.$ $\sqrt{аргумента: 2a ^2 + 5ax - 3x ^2} аргумента = $\sqrt{аргумента: 16x - x ^2 + 4a ^2 - 2a - 40}$ аргумента = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2a ^2 + 5ax - 3x ^2 =16x - x ^2 + 4a ^2 - 2a - 40 \\[6pt] 2a ^2 + 5ax - 3x ^2 больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2a ^2 - 5ax + 2x ^2 - 2a + 16x - 40=0 \\[6pt] ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ^2 - ( $\frac{5}{2}$ a - 8 ) x + ( 2a - 10 ) \cdot ( $\frac{a}{2}$ + 2 ) =0 \\[6pt] ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x= $\frac{a}{2}$ + 2 \\[6pt] x=2a - 10 \end{cases}$$ . ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} a=2x - 4 \\[6pt] a= $\frac{x}{2}$ + 5 \end{cases}$$ . ( a + 3x ) ( 2a - x ) больше или = 0. \end{array} \right.$
[рис.]
Изобразим график полученной системы в системе координат xOa на отрезке [0; 8]. Неравенство задаёт два вертикальных угла, ограниченных прямыми $a= - 3x$ и $a= \frac{x}{2}$ (выделено оранжевым). Уравнения задают прямые, при этом решением системы являются только лучи лучи этих прямых, лежащие в соответствующих вертикальных углах (выделено синим). Отрезок [0; 8] задает вертикальную полосу (выделено зелёным).
Найдём координаты точек A и B, решив системы уравнений. Для точки А:
$$$\begin{cases} a=2x - 4 \\[6pt] a= - 3x \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a= - $\frac{12}{5}$ \\[6pt] x= $\frac{4}{5}$ \end{cases}$$$
Для точки B:
$$$\begin{cases} a=2x - 4 \\[6pt] a= $\frac{x}{2}$ \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a= $\frac{4}{3}$ \\[6pt] x= $\frac{8}{3}$ . \end{cases}$$$
Найдём координаты точки пересечения прямых $a=2x - 4$ и $a= $\frac{x}{2}$ + 5$ :
$$$\begin{cases} a=2x - 4 \\[6pt] a= $\frac{x}{2}$ + 5 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a=8 \\[6pt] x=6. \end{cases}$$$
Заметим, что прямая $a=2x - 4$ проходит через точки $( 0; - 4 )$ и $( 8; 12 )$ а прямая $a= $\frac{x}{2}$ + 5$ — через точки $( 0; 5 )$ и $( 8; 9 )$
Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень на отрезке [0; 8] при $ - 4 меньше или = a меньше или = - \frac{12}{5}$ $\frac{4}{3} меньше или = a меньше 5$ $a=8$ и при $9 меньше a меньше или = 12$
Ответ: $[ - 4; - $\frac{12}{5}$ ] \cup [ $\frac{4}{3}$ ; 5 ) \cup \{ 8 \} \cup ( 9; 12 ]$
Правильный ответ:
$левая квадратная скобка минус 4; минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; 5 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 8 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 9; 12 правая квадратная скобка$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70441 • Задание №17
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
$левая круглая скобка левая круглая скобка ...
ID 70740 • Задание №18
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
$дробь: числитель: a в квадрате минус 3x в квадрате п...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений
| 2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений,
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений
| 2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений,
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №18 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 70718
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: 6k минус левая круг...
ID 70719
Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение $логарифм по основанию левая круглая с...
ID 70720
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка логарифм по основанию 8 ле...
ID 70721
Найдите наименьшее натуральное значение a, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим...
ID 70722
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс ...