Преобразуем уравнение:

$\sqrt{аргумента: x + 3 - 4 $\sqrt{начало аргумента: x - 1}$ аргумента}аргумента + \sqrt{аргумента: x + 8 - 6 $\sqrt{начало аргумента: x - 1}$ аргумента}аргумента = a = сильно$
$ = сильно \sqrt{аргумента: ( x - 1 ) - 2 \cdot $\sqrt{начало аргумента: x - 1}$ аргумента \cdot 2 + 4}аргумента + \sqrt{аргумента: ( x - 1 ) - 2 \cdot $\sqrt{начало аргумента: x - 1}$ аргумента \cdot 3 + 9}аргумента = a = сильно$
$ = сильно \sqrt{аргумента: ( $\sqrt{начало аргумента: x - 1}$ аргумента - 2 ) ^2}аргумента + \sqrt{аргумента: ( $\sqrt{начало аргумента: x - 1}$ аргумента - 3 ) ^2}аргумента = a = сильно | $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента - 2| + | $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента - 3| = a$ $\sqrt{аргумента: x + 3 - 4 $\sqrt{начало аргумента: x - 1}$ аргумента}аргумента + \sqrt{аргумента: x + 8 - 6 $\sqrt{начало аргумента: x - 1}$ аргумента}аргумента = a = сильно$
$ = сильно \sqrt{аргумента: ( x - 1 ) - 2 \cdot $\sqrt{начало аргумента: x - 1}$ аргумента \cdot 2 + 4}аргумента + \sqrt{аргумента: ( x - 1 ) - 2 \cdot $\sqrt{начало аргумента: x - 1}$ аргумента \cdot 3 + 9}аргумента = a = сильно$
$ = сильно \sqrt{аргумента: ( $\sqrt{начало аргумента: x - 1}$ аргумента - 2 ) ^2}аргумента + \sqrt{аргумента: ( $\sqrt{начало аргумента: x - 1}$ аргумента - 3 ) ^2}аргумента = a = сильно$
$ = сильно | $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента - 2| + | $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента - 3| = a$

Рассмотрим функцию $y= | $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента - 2| + | $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента - 3|$ на отрезке [2; 17]. Заметим, что слагаемое $| $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента - 2|$ обращается в нуль при $x = 5$ а слагаемое $| $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента - 3|$   — при $x = 10$ Тогда:

$y = $$\begin{cases} | $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента - 2| + | $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента - 3| \\[6pt] при 2 меньше или = x меньше или = 5 \\[6pt] - $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента + 2 - $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента + 3 \\[6pt] при 5 меньше или = x меньше или = 10 \\[6pt] $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента - 2 - $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента + 3 \\[6pt] при 10 меньше или = x меньше или = 17 \end{cases}$$ . = $$\begin{cases} - 2 $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента + 5 \\[6pt] при 2 меньше или = x меньше или = 5 \\[6pt] 1 \\[6pt] при 5 меньше или = x меньше или = 10 \\[6pt] 2 $\sqrt{аргумента: x - 1}$ аргумента - 5 \\[6pt] при 10 меньше или = x меньше или = 17. \end{cases}$$$

[рис.]
Первое выражение системы задаёт убывающую функцию, поэтому $y ( 2 ) больше y ( 5 )$ при этом $y ( 2 ) = - 2 + 5 = 3$ Третье выражение задаёт возрастающую функцию, поэтому $y ( 17 ) больше y ( 10 )$ при этом $y ( 17 ) = 8 - 5 = 3$
Таким образом, решения исходного уравнения существуют и принадлежат отрезку [2; 17] в том случае, когда семейство горизонтальных прямых $y = a$ имеет общие точки с графиком. Так как на выбранном отрезке график системы в граничных точках принимает одно и то же значение $y = 3$ и не принимает значения, меньшие $y = 1$ то подойдут значения параметра $a принадлежит [ 1; 3 ]$

Ответ: [1; 3].