Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$\sqrt{аргумента: 9 x в степени 4 + 4 x ^2 ( 5 x + 2 ) - a ( 2 x ^2 - a )} аргумента =3 x ^2 + 4 x - a$
имеет ровно три различных корня.
$\sqrt{аргумента: 9 x в степени 4 + 4 x ^2 ( 5 x + 2 ) - a ( 2 x ^2 - a )} аргумента =3 x ^2 + 4 x - a$
имеет ровно три различных корня.
💡 Пошаговый разбор и решение:
При условии $3 x ^2 + 4 x - a больше или = 0$ уравнение = сильно следующим:
$9 x в степени 4 + 20 x ^3 + 8 x ^2 - 2 a x ^2 + a ^2 = ( 3 x ^2 + 4 x - a ) ^2 = сильно$
$ = сильно 9 x в степени 4 + 20 x ^3 + 8 x ^2 - 2 a x ^2 + a ^2 = 9 x в степени 4 + 16 x ^2 + a ^2 + 24 x ^3 - 6 a x ^2 - 8 a x = сильно 4 x ^3 + 8 x ^2 - 4 a x ^2 - 8 a x = 0 = сильно$
$ = сильно x ^3 + 2 x ^2 - a x ^2 - 2 a x=0 = сильно x ( x + 2 ) ( x - a ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=0, x= - 2, x = a. \end{array} \right.$ $9 x в степени 4 + 20 x ^3 + 8 x ^2 - 2 a x ^2 + a ^2 = ( 3 x ^2 + 4 x - a ) ^2 = сильно$
$ = сильно 9 x в степени 4 + 20 x ^3 + 8 x ^2 - 2 a x ^2 + a ^2 = 9 x в степени 4 + 16 x ^2 + a ^2 + 24 x ^3 - 6 a x ^2 - 8 a x = сильно$
$ = сильно 4 x ^3 + 8 x ^2 - 4 a x ^2 - 8 a x = 0 = сильно x ^3 + 2 x ^2 - a x ^2 - 2 a x=0 = сильно x ( x + 2 ) ( x - a ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=0, x= - 2, x = a. \end{array} \right.$ $9 x в степени 4 + 20 x ^3 + 8 x ^2 - 2 a x ^2 + a ^2 = ( 3 x ^2 + 4 x - a ) ^2 = сильно$
$ = сильно 9 x в степени 4 + 20 x ^3 + 8 x ^2 - 2 a x ^2 + a ^2 = 9 x в степени 4 + 16 x ^2 + a ^2 + 24 x ^3 - 6 a x ^2 - 8 a x = сильно$
$ = сильно 4 x ^3 + 8 x ^2 - 4 a x ^2 - 8 a x = 0 = сильно$
$ = сильно x ^3 + 2 x ^2 - a x ^2 - 2 a x=0 = сильно x ( x + 2 ) ( x - a ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=0, x= - 2, x = a. \end{array} \right.$ $9 x в степени 4 + 20 x ^3 + 8 x ^2 - 2 a x ^2 + a ^2 = ( 3 x ^2 + 4 x - a ) ^2 = сильно$
$ = сильно 9 x в степени 4 + 20 x ^3 + 8 x ^2 - 2 a x ^2 + a ^2 = 9 x в степени 4 + 16 x ^2 + a ^2 + 24 x ^3 - 6 a x ^2 - 8 a x = сильно$
$ = сильно 4 x ^3 + 8 x ^2 - 4 a x ^2 - 8 a x = 0 = сильно x ^3 + 2 x ^2 - a x ^2 - 2 a x=0 = сильно$
$ = сильно x ( x + 2 ) ( x - a ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=0, x= - 2, x = a. \end{array} \right.$ $9 x в степени 4 + 20 x ^3 + 8 x ^2 - 2 a x ^2 + a ^2 = ( 3 x ^2 + 4 x - a ) ^2 = сильно$
$ = сильно 9 x в степени 4 + 20 x ^3 + 8 x ^2 - 2 a x ^2 + a ^2 = 9 x в степени 4 + 16 x ^2 + a ^2 + 24 x ^3 - 6 a x ^2 - 8 a x = сильно$
$ = сильно 4 x ^3 + 8 x ^2 - 4 a x ^2 - 8 a x = 0 = сильно$
$ = сильно x ^3 + 2 x ^2 - a x ^2 - 2 a x=0 = сильно$
$ = сильно x ( x + 2 ) ( x - a ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=0, x= - 2, x = a. \end{array} \right.$
Исходное уравнение имеет три корня, когда эти числа различны и для каждого из них выполнено условие $3 x ^2 + 4 x - a больше или = 0$ Рассмотрим условия совпадения корней. При $a = 0$ и $a = - 2$ уравнение имеет не более двух различных корней. При остальных значениях a числа 0, −2, a различны. При $x = 0$ получаем $3 x ^2 + 4 x - a = - a$ Это выражение неотрицательно при $a меньше или = 0$ При $x = - 2$ получаем $3 x ^2 + 4 x - a = 4 - a$ Это выражение неотрицательно при $a меньше или = 4$ При $x = a$ получаем $3 x ^2 + 4 x - a = 3 a ^2 + 3 a$ Это выражение неотрицательно при $a меньше или = - 1$ или $a больше или = 0$ Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при $a меньше - 2$ и при $ - 2 меньше a \leqslant - 1$
Ответ: $a меньше - 2$ $ - 2 меньше a \leqslant - 1$
$9 x в степени 4 + 20 x ^3 + 8 x ^2 - 2 a x ^2 + a ^2 = ( 3 x ^2 + 4 x - a ) ^2 = сильно$
$ = сильно 9 x в степени 4 + 20 x ^3 + 8 x ^2 - 2 a x ^2 + a ^2 = 9 x в степени 4 + 16 x ^2 + a ^2 + 24 x ^3 - 6 a x ^2 - 8 a x = сильно 4 x ^3 + 8 x ^2 - 4 a x ^2 - 8 a x = 0 = сильно$
$ = сильно x ^3 + 2 x ^2 - a x ^2 - 2 a x=0 = сильно x ( x + 2 ) ( x - a ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=0, x= - 2, x = a. \end{array} \right.$ $9 x в степени 4 + 20 x ^3 + 8 x ^2 - 2 a x ^2 + a ^2 = ( 3 x ^2 + 4 x - a ) ^2 = сильно$
$ = сильно 9 x в степени 4 + 20 x ^3 + 8 x ^2 - 2 a x ^2 + a ^2 = 9 x в степени 4 + 16 x ^2 + a ^2 + 24 x ^3 - 6 a x ^2 - 8 a x = сильно$
$ = сильно 4 x ^3 + 8 x ^2 - 4 a x ^2 - 8 a x = 0 = сильно x ^3 + 2 x ^2 - a x ^2 - 2 a x=0 = сильно x ( x + 2 ) ( x - a ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=0, x= - 2, x = a. \end{array} \right.$ $9 x в степени 4 + 20 x ^3 + 8 x ^2 - 2 a x ^2 + a ^2 = ( 3 x ^2 + 4 x - a ) ^2 = сильно$
$ = сильно 9 x в степени 4 + 20 x ^3 + 8 x ^2 - 2 a x ^2 + a ^2 = 9 x в степени 4 + 16 x ^2 + a ^2 + 24 x ^3 - 6 a x ^2 - 8 a x = сильно$
$ = сильно 4 x ^3 + 8 x ^2 - 4 a x ^2 - 8 a x = 0 = сильно$
$ = сильно x ^3 + 2 x ^2 - a x ^2 - 2 a x=0 = сильно x ( x + 2 ) ( x - a ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=0, x= - 2, x = a. \end{array} \right.$ $9 x в степени 4 + 20 x ^3 + 8 x ^2 - 2 a x ^2 + a ^2 = ( 3 x ^2 + 4 x - a ) ^2 = сильно$
$ = сильно 9 x в степени 4 + 20 x ^3 + 8 x ^2 - 2 a x ^2 + a ^2 = 9 x в степени 4 + 16 x ^2 + a ^2 + 24 x ^3 - 6 a x ^2 - 8 a x = сильно$
$ = сильно 4 x ^3 + 8 x ^2 - 4 a x ^2 - 8 a x = 0 = сильно x ^3 + 2 x ^2 - a x ^2 - 2 a x=0 = сильно$
$ = сильно x ( x + 2 ) ( x - a ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=0, x= - 2, x = a. \end{array} \right.$ $9 x в степени 4 + 20 x ^3 + 8 x ^2 - 2 a x ^2 + a ^2 = ( 3 x ^2 + 4 x - a ) ^2 = сильно$
$ = сильно 9 x в степени 4 + 20 x ^3 + 8 x ^2 - 2 a x ^2 + a ^2 = 9 x в степени 4 + 16 x ^2 + a ^2 + 24 x ^3 - 6 a x ^2 - 8 a x = сильно$
$ = сильно 4 x ^3 + 8 x ^2 - 4 a x ^2 - 8 a x = 0 = сильно$
$ = сильно x ^3 + 2 x ^2 - a x ^2 - 2 a x=0 = сильно$
$ = сильно x ( x + 2 ) ( x - a ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=0, x= - 2, x = a. \end{array} \right.$
Исходное уравнение имеет три корня, когда эти числа различны и для каждого из них выполнено условие $3 x ^2 + 4 x - a больше или = 0$ Рассмотрим условия совпадения корней. При $a = 0$ и $a = - 2$ уравнение имеет не более двух различных корней. При остальных значениях a числа 0, −2, a различны. При $x = 0$ получаем $3 x ^2 + 4 x - a = - a$ Это выражение неотрицательно при $a меньше или = 0$ При $x = - 2$ получаем $3 x ^2 + 4 x - a = 4 - a$ Это выражение неотрицательно при $a меньше или = 4$ При $x = a$ получаем $3 x ^2 + 4 x - a = 3 a ^2 + 3 a$ Это выражение неотрицательно при $a меньше или = - 1$ или $a больше или = 0$ Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при $a меньше - 2$ и при $ - 2 меньше a \leqslant - 1$
Ответ: $a меньше - 2$ $ - 2 меньше a \leqslant - 1$
Правильный ответ:
$a меньше минус 2$ $минус 2 меньше a \leqslant минус 1$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70125 • Задание №17
В трапеции ABCD известно, что $\angle ABD = \angle ACD =90 градусов$
а) Докажите, что AB = CD.
б) Найдите ...
ID 69224 • Задание №15
Диагонали трапеции равны 13 и $корень из: начало аргумента: 41 конец аргумента$ а высота равна 5. Найдите площ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений
| 2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений,
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений
| 2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений,
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №18 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 70718
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: 6k минус левая круг...
ID 70719
Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение $логарифм по основанию левая круглая с...
ID 70720
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка логарифм по основанию 8 ле...
ID 70721
Найдите наименьшее натуральное значение a, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим...
ID 70722
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс ...