Решим первое уравнение:

$yx ^2 + y ^2 =2y + 63 - 7x ^2 = сильно yx ^2 + 7x ^2 + y ^2 - 2y - 63=0 = сильно$
$ = сильно ( y + 7 ) ( y + x ^2 - 9 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} y= - 7,y=9 - x ^2 . \end{array} \right.$

Рассмотрим случай (1): y  =  −7. При любом a получаем одно решение x  =  a + 7, для которого неравенство x ≥ −3 верно только при a ≥ −10.
Рассмотрим случай (2):

$y=9 - x ^2 = сильно 9 - x ^2 =a - x = сильно x ^2 - x + ( a - 9 ) =0$

$D=1 - 4 ( a - 9 ) =37 - 4a$ поэтому при $a больше 9,25$ корней нет, при $a=9,25$ получаем один корень $x=0,5$ при $a меньше 9,25$ получаем два различных корня. У параболы $y=x ^2 - x + ( a - 9 )$   — ветви вверх, абсцисса вершины равна $x_0=0,5 больше 0$
Значит, оба корня не меньше −3 при $3 + a больше или = 0$ то есть при $ - 3 меньше или = a меньше 9,25$ а при $a меньше - 3$ один корень меньше −3, а другой  — больше −3.
Соберем сведения о числе решений в случаях (1) и (2) в таблице

a
a 
−10 ≤ a 
−3 ≤ a 
a  =  9,25
a > 9,25

Число решений (1)
0
1
1
1
1

Число решений (2)
1
1
2
1
0

Остаётся учесть те значения a, при которых решение из случая (1) совпадает с одним из решений случая (2). Тогда $ - 7=9 - x ^2 = сильно x=\pm4$ с учётом $x \geqslant - 3$ из $x + y=a$ получаем, что x  =  4, a  =  −3.

Ответ: $ - 10 меньше или = a\leqslant - 3,a=9,25$

Примечание.
Для решения задачи можно использовать графо-аналитический метод.

[рис.]