Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
$$$\begin{cases} новая строка y ^2 + xy - 4x - 9y + 20=0 \\[6pt] новая строка y=ax + 1 \\[6pt] новая строка x больше 2 \end{cases}$$$
имеет единственное решение.
$$$\begin{cases} новая строка y ^2 + xy - 4x - 9y + 20=0 \\[6pt] новая строка y=ax + 1 \\[6pt] новая строка x больше 2 \end{cases}$$$
имеет единственное решение.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Преобразуем исходную систему:
$$$\begin{cases} новая строка ( y - 4 ) x + y ^2 - 9y + 20=0 \\[6pt] новая строка y=ax + 1 \\[6pt] новая строка x больше 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка ( y - 4 ) x + ( y - 4 ) ( y - 5 ) =0 \\[6pt] новая строка y=ax + 1 \\[6pt] новая строка x больше 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка ( y - 4 ) ( x + y - 5 ) =0 \\[6pt] новая строка y=ax + 1 \\[6pt] новая строка x больше 2. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} новая строка ( y - 4 ) x + y ^2 - 9y + 20=0 \\[6pt] новая строка y=ax + 1 \\[6pt] новая строка x больше 2 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка ( y - 4 ) x + ( y - 4 ) ( y - 5 ) =0 \\[6pt] новая строка y=ax + 1 \\[6pt] новая строка x больше 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка ( y - 4 ) ( x + y - 5 ) =0 \\[6pt] новая строка y=ax + 1 \\[6pt] новая строка x больше 2. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} новая строка ( y - 4 ) x + y ^2 - 9y + 20=0 \\[6pt] новая строка y=ax + 1 \\[6pt] новая строка x больше 2 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка ( y - 4 ) x + ( y - 4 ) ( y - 5 ) =0 \\[6pt] новая строка y=ax + 1 \\[6pt] новая строка x больше 2 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка ( y - 4 ) ( x + y - 5 ) =0 \\[6pt] новая строка y=ax + 1 \\[6pt] новая строка x больше 2. \end{cases}$$$
Уравнение $( y - 4 ) ( x + y - 5 ) =0$ задает пару пересекающихся прямых $y=4$ и $y=5 - x$
Система
$$$\begin{cases} новая строка x больше 2 \\[6pt] новая строка ( y - 4 ) ( y + x - 5 ) =0 \end{cases}$$$
задает части этих прямых, расположенные правее прямой $x=2$ то есть лучи BD и CE (без точек B и C), см. рис.
[рис.]
Уравнение $y=ax + 1$ задает прямую m с угловым коэффициентом a, проходящую через точку $A ( 0, 1 )$ Следует найти все значения a, при каждом из которых прямая m имеет единственную общую точку с объединением лучей BD и $CE$
а) Прямая AB задается уравнением $y=1,5x + 1$ Поэтому при $a больше или = 1,5$ прямая m не пересечет ни луч BD, ни луч $CE$
б) Прямая AC задается уравнением $y=x + 1$ Поэтому при $1 меньше или = a меньше 1,5$ прямая m пересечет луч BD, но не пересечет луч $CE$
в) При $0 меньше a меньше 1$ прямая m пресечет и луч BD, и луч $CE$
г) Наконец, при $ - 1 меньше a меньше или = 0$ прямая m пересечет только луч CE, а при $a меньше или = - 1$ она не пересечет ни луч BD, ни луч $CE$
Ответ: $a принадлежит ( - 1,0 ] \cup [ 1,1,5 )$
$$$\begin{cases} новая строка ( y - 4 ) x + y ^2 - 9y + 20=0 \\[6pt] новая строка y=ax + 1 \\[6pt] новая строка x больше 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка ( y - 4 ) x + ( y - 4 ) ( y - 5 ) =0 \\[6pt] новая строка y=ax + 1 \\[6pt] новая строка x больше 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка ( y - 4 ) ( x + y - 5 ) =0 \\[6pt] новая строка y=ax + 1 \\[6pt] новая строка x больше 2. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} новая строка ( y - 4 ) x + y ^2 - 9y + 20=0 \\[6pt] новая строка y=ax + 1 \\[6pt] новая строка x больше 2 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка ( y - 4 ) x + ( y - 4 ) ( y - 5 ) =0 \\[6pt] новая строка y=ax + 1 \\[6pt] новая строка x больше 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка ( y - 4 ) ( x + y - 5 ) =0 \\[6pt] новая строка y=ax + 1 \\[6pt] новая строка x больше 2. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} новая строка ( y - 4 ) x + y ^2 - 9y + 20=0 \\[6pt] новая строка y=ax + 1 \\[6pt] новая строка x больше 2 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка ( y - 4 ) x + ( y - 4 ) ( y - 5 ) =0 \\[6pt] новая строка y=ax + 1 \\[6pt] новая строка x больше 2 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка ( y - 4 ) ( x + y - 5 ) =0 \\[6pt] новая строка y=ax + 1 \\[6pt] новая строка x больше 2. \end{cases}$$$
Уравнение $( y - 4 ) ( x + y - 5 ) =0$ задает пару пересекающихся прямых $y=4$ и $y=5 - x$
Система
$$$\begin{cases} новая строка x больше 2 \\[6pt] новая строка ( y - 4 ) ( y + x - 5 ) =0 \end{cases}$$$
задает части этих прямых, расположенные правее прямой $x=2$ то есть лучи BD и CE (без точек B и C), см. рис.
[рис.]
Уравнение $y=ax + 1$ задает прямую m с угловым коэффициентом a, проходящую через точку $A ( 0, 1 )$ Следует найти все значения a, при каждом из которых прямая m имеет единственную общую точку с объединением лучей BD и $CE$
а) Прямая AB задается уравнением $y=1,5x + 1$ Поэтому при $a больше или = 1,5$ прямая m не пересечет ни луч BD, ни луч $CE$
б) Прямая AC задается уравнением $y=x + 1$ Поэтому при $1 меньше или = a меньше 1,5$ прямая m пересечет луч BD, но не пересечет луч $CE$
в) При $0 меньше a меньше 1$ прямая m пресечет и луч BD, и луч $CE$
г) Наконец, при $ - 1 меньше a меньше или = 0$ прямая m пересечет только луч CE, а при $a меньше или = - 1$ она не пересечет ни луч BD, ни луч $CE$
Ответ: $a принадлежит ( - 1,0 ] \cup [ 1,1,5 )$
Правильный ответ:
$a принадлежит левая круглая скобка минус 1,0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1,1,5 правая круглая скобка$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70369 • Задание №17
В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ AC является биссектрисой угла BAD и пересекается с диагональю BD в ...
ID 67398 • Задание №13
а) Решите уравнение $корень из: начало аргумента: x в кубе плюс 4x в квадрате плюс 9 конец аргумента минус 3=...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ | 4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность | 3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность | 2
Решение содержит:
− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;
− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ | 4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность | 3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность | 2
Решение содержит:
− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;
− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №18 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 70718
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: 6k минус левая круг...
ID 70719
Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение $логарифм по основанию левая круглая с...
ID 70720
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка логарифм по основанию 8 ле...
ID 70721
Найдите наименьшее натуральное значение a, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим...
ID 70722
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс ...