Преобразуем первое уравнение системы:

$2x ^2 + 2y ^2 =|x| + |y| = сильно x ^2 - $\frac{1}{2}$ |x| + y ^2 - $\frac{1}{2}$ |y|=0 = сильно$
$ = сильно |x| ^2 - 2 \cdot |x| \cdot $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{16}$ + |y| ^2 - 2 \cdot |y| \cdot $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{8}$ = сильно ( |x| - $\frac{1}{4}$ ) ^2 + ( |y| - $\frac{1}{4}$ ) ^2 = \frac{1}{8}$ $ = сильно |x| ^2 - 2 \cdot |x| \cdot $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{16}$ + |y| ^2 - 2 \cdot |y| \cdot $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{8}$ = сильно$
$ = сильно ( |x| - $\frac{1}{4}$ ) ^2 + ( |y| - $\frac{1}{4}$ ) ^2 = \frac{1}{8}$

Преобразуем второе уравнение системы:

$\frac{y - 3}{x - 3} =a = сильно $$\begin{cases} y=a ( x - 3 ) + 3 \\[6pt] x не = 3. \end{cases}$$$

При $x=3$ первое уравнение исходной системы не имеет решений, а значит, и вся система не имеет решений. Поэтому умножение второго уравнения на $x - 3$ не приводит к появлению посторонних корней. Следовательно, исходная система = сильна системе

$$$\begin{cases} ( |x| - $\frac{1}{4}$ ) ^2 + ( |y| - $\frac{1}{4}$ ) ^2 = $\frac{1}{8}$ \\[6pt] y=a ( x - 3 ) + 3. \end{cases}$$$

Решим задачу графо-аналитическим методом. Построим график первого уравнения. При $x\geqslant0$ и $y\geqslant0$ уравнение принимает вид $( x - $\frac{1}{4}$ ) ^2 + ( y - $\frac{1}{4}$ ) ^2 = \frac{1}{8}$ то есть является уравнением окружности с центром в точке $( $\frac{1}{4}$ ; $\frac{1}{4}$ )$ и радиусом $r= \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4}$ Таким образом, при $x\geqslant0$ и $y\geqslant0$ графиком первого уравнения является дуга окружности и точка $( 0; 0 )$ (см. ниже, рис. слева). Отражая построенную дугу относительно оси ординат, а затем обе полученные дуги относительно оси абсцисс, получаем график первого уравнения системы (см. ниже, рис. справа).

[рис.]

[рис.]

Графиком уравнения $y=a ( x - 3 ) + 3$ является пучок прямых, проходящих через точку $A ( 3; 3 )$ Количество решений исходной системы совпадает с количеством точек пересечения графиков ее уравнений. Тем самым (см. рис.) исходная система может не иметь решений, либо иметь одно, два, три или четыре решения.
[рис.]
Система имеет ровно три решения в следующих случаях:
—  при $a= a_3$ если прямая $y=a ( x - 3 ) + 3$ проходит через точку $( 0; 0 )$ (выделено пурпурным),
—  при $a= a_2$ если прямая $y=a ( x - 3 ) + 3$ проходит через точку $( 0; $\frac{1}{2}$ )$ или при $a= a_4$ если прямая проходит через точку $( $\frac{1}{2}$ ; 0 )$ (выделено зелёным),
—  при $a= a_1$ или $a= a_5$ если прямая $y=a ( x - 3 ) + 3$ касается графика первого уравнения в первой координатной четверти (выделено красным). Заметим, что прямая, проходящая через точку $( 3; 3 )$ не может касаться графика первого уравнения в третьей координатной четверти, поэтому другие случаи невозможны. Найдём соответствующие значения параметра.
Очевидно, $a_3=1$ Найдём $a_2$ подставив координаты точки $( 0; $\frac{1}{2}$ ) :$

$\frac{1}{2} =a_2 ( 0 - 3 ) + 3 = сильно a_2= \frac{5}{6}$

Найдём $a_4$ подставив координаты точки $( $\frac{1}{2}$ ; 0 ) :$

$0=a_4 ( $\frac{1}{2}$ - 3 ) + 3 = сильно a_4= \frac{6}{5}$

Значения $a_1$ и $a_5$ найдём, воспользовавшись формулой расстояния от точки $( $\frac{1}{4}$ ; $\frac{1}{4}$ )$ до прямой $y=a ( x - 3 ) + 3$ которое = радиусу $r= \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4}$ Получаем:

$\frac{\left| $\frac{1}{4}$ a - $\frac{1}{4}$ + 3 - 3a|,}{$\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента} = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4} = сильно |11 ( 1 - a ) |= $\sqrt{аргумента: 2a ^2 + 2}$ аргумента = сильно 119a ^2 - 242a + 119=0 = сильно$ $\frac{\left| $\frac{1}{4}$ a - $\frac{1}{4}$ + 3 - 3a|,}{$\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента} = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4} = сильно |11 ( 1 - a ) |= $\sqrt{аргумента: 2a ^2 + 2}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 119a ^2 - 242a + 119=0 = сильно$ $\frac{\left| $\frac{1}{4}$ a - $\frac{1}{4}$ + 3 - 3a|,}{$\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента} = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4} = сильно$
$ = сильно |11 ( 1 - a ) |= $\sqrt{аргумента: 2a ^2 + 2}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 119a ^2 - 242a + 119=0 = сильно$
$ = сильно a= \frac{121\pm $\sqrt{аргумента: 121 ^2 - 119 ^2}$ аргумента}{119} = сильно a= \frac{121\pm $\sqrt{аргумента: 240 \cdot 2}$ аргумента}{119} = сильно a= \frac{121\pm 4 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента}{119}$ $ = сильно a= \frac{121\pm $\sqrt{аргумента: 121 ^2 - 119 ^2}$ аргумента}{119} = сильно$
$ = сильно a= \frac{121\pm $\sqrt{аргумента: 240 \cdot 2}$ аргумента}{119} = сильно a= \frac{121\pm 4 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента}{119}$

Значит, $a_1= \frac{121 - 4 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента}{119}$ и $a_5= \frac{121 + 4 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента}{119}$
Таким образом, система имеет ровно три решения при $a= \frac{121 - 4 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента}{119}$ $a= \frac{5}{6}$ $a=1$ $a= \frac{6}{5}$ или $a= \frac{121 + 4 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента}{119}$

Ответ: $\{ \frac{121 - 4 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента}{119} , $\frac{5}{6}$ , 1, $\frac{6}{5}$ , \frac{121 + 4 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента}{119} \}$