[рис.] Решим задачу графо-аналитическим способом. Изобразим решение неравенств данной системы в системе координат xOy. Для этого при $x меньше или = 0$ построим графики $x ^2 + 3x + y - 4 = 0$ и $x - y + 4 = 0$ Первый график  — парабола $y = - x ^2 - 3x + 4$ и второй  — прямая $y = x + 4$ разбивают полуплоскость на 4 части, в двух из которых (выделены оранжевым) неравенство выполняется.
Графиком уравнения $ax - y - 2a + 3 = 0$ является пучок прямых $y = a ( x - 2 ) + 3$ проходящих через точку с координатами  $( 2; 3 )$
Исходная система имеет единственное решение, если прямая $y = a ( x - 2 ) + 3$ имеет только одну общую точку с выделенными зелёным частями плоскости. Это достигается в двух случаях.
1.  Если прямая $y = a ( x - 2 ) + 3$ проходит через точку $( - 4; 0 )$ (выделено зеленым). Тогда $a = 0,5$
2.  Если прямая $y = a ( x - 2 ) + 3$ касается параболы $y = - x ^2 - 3x + 4$ (выделено красным). Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение $ - x ^2 - 3x + 4 = a ( x - 2 ) + 3$ должно иметь единственное решение. Запишем его в виде $x ^2 + ( a + 3 ) x - 1 - 2a = 0$ и найдем дискриминант:

$D = ( a + 3 ) ^2 - 4 \cdot ( - 1 - 2a ) = a ^2 + 14a + 13$

Дискриминант обращается в нуль при $a = - 1$ или $a = - 13$ При $a = - 13$ абсцисса точки касания положительна, что не соответствует условию задачи. При $a = - 1$ абсцисса точки касания $x_0 = - 1$
Таким образом, исходная система:
—  при $a меньше - 1$ не имеет решений;
—  при $a = - 1$ имеет одно решение;
—  при $ - 1 меньше a меньше 0,5$ имеет бесконечное число решений;
—  при $a = 0,5$ имеет одно решение;
—  при $a больше 0,5$ имеет бесконечное число решений.

Ответ: $\{ - 1; 0,5 \}$