Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
$$$\begin{cases} 4 в степени ( ax ) \cdot 2 в степени ( x ^2 ) меньше 7 в степени ( - ( x + 2a ) ) \\[6pt] 2x ^3 + x ^2 + x меньше 2a ^3 + a ^2 + a \end{cases}$$$
имеет хотя бы одно решение на отрезке [−2; 1].
$$$\begin{cases} 4 в степени ( ax ) \cdot 2 в степени ( x ^2 ) меньше 7 в степени ( - ( x + 2a ) ) \\[6pt] 2x ^3 + x ^2 + x меньше 2a ^3 + a ^2 + a \end{cases}$$$
имеет хотя бы одно решение на отрезке [−2; 1].
💡 Пошаговый разбор и решение:
Запишем второе неравенство в виде
$2x ^3 + x ^2 + x - 2a ^3 - a ^2 - a меньше 0$
и преобразуем левую часть:
$2 ( x ^3 - a ^3 ) + ( x ^2 - a ^2 ) + x - a меньше 0 = сильно ( x - a ) ( 2x ^2 + ( 1 + 2a ) x + 2a ^2 + a + 1 ) меньше 0$ $2 ( x ^3 - a ^3 ) + ( x ^2 - a ^2 ) + x - a меньше 0 = сильно$
$ = сильно ( x - a ) ( 2x ^2 + ( 1 + 2a ) x + 2a ^2 + a + 1 ) меньше 0$
Дискриминант трёхчлена $2x ^2 + ( 1 + 2a ) x + 2a ^2 + a + 1$ равен
$( 1 + 2a ) ^2 - 8 ( 2a ^2 + a + 1 ) = - 12a ^2 - 4a - 7= - 8a ^2 - ( 2a + 1 ) ^2 - 6$
Это выражение отрицательно при любом значении a, следовательно, выражение $2x ^2 + ( 1 + 2a ) x + 2a ^2 + a + 1$ принимает только положительные значения при любых значениях x и a. Таким образом, второе неравенство системы = сильно неравенству x a. Преобразуем первое неравенство:
$\log_{2} ( 4 в степени ( ax ) \cdot 2 в степени ( x ^2 ) ) меньше \log_{2} ( 7 в степени ( - ( x + 2a ) ) ) = сильно x ^2 + 2ax меньше - ( x + 2a ) \log_{2} 7 = сильно ( x + 2a ) ( x + \log_{2} 7 ) меньше 0$ $\log_{2} ( 4 в степени ( ax ) \cdot 2 в степени ( x ^2 ) ) меньше \log_{2} ( 7 в степени ( - ( x + 2a ) ) ) = сильно$
$ = сильно x ^2 + 2ax меньше - ( x + 2a ) \log_{2} 7 = сильно ( x + 2a ) ( x + \log_{2} 7 ) меньше 0$ $\log_{2} ( 4 в степени ( ax ) \cdot 2 в степени ( x ^2 ) ) меньше \log_{2} ( 7 в степени ( - ( x + 2a ) ) ) = сильно$
$ = сильно x ^2 + 2ax меньше - ( x + 2a ) \log_{2} 7 = сильно$
$ = сильно ( x + 2a ) ( x + \log_{2} 7 ) меньше 0$
Если $ - 2a= - \log_{2} 7$ то неравенство $( x + 2a ) ( x + \log_{2} 7 ) меньше 0$ не имеет решений.
Если $ - 2a меньше - \log_{2} 7$ то $ - 2a меньше x меньше - \log_{2} 7 меньше - 2$ и на отрезке [−2; 1] решений нет.
Если $ - 2a больше - \log_{2} 7$ то получаем систему неравенств: $$$\begin{cases} - \log_{2} 7 меньше x меньше - 2a \\[6pt] x меньше a. \end{cases}$$$ Чтобы на отрезке [−2; 1] было решение, нужно, чтобы наименьшее из чисел a и −2a было больше чем −2: $$$\begin{cases} a больше - 2 \\[6pt] - 2a больше - 2 \end{cases}$$ . = сильно - 2 меньше a меньше 1$
Ответ: (−2; 1).
$2x ^3 + x ^2 + x - 2a ^3 - a ^2 - a меньше 0$
и преобразуем левую часть:
$2 ( x ^3 - a ^3 ) + ( x ^2 - a ^2 ) + x - a меньше 0 = сильно ( x - a ) ( 2x ^2 + ( 1 + 2a ) x + 2a ^2 + a + 1 ) меньше 0$ $2 ( x ^3 - a ^3 ) + ( x ^2 - a ^2 ) + x - a меньше 0 = сильно$
$ = сильно ( x - a ) ( 2x ^2 + ( 1 + 2a ) x + 2a ^2 + a + 1 ) меньше 0$
Дискриминант трёхчлена $2x ^2 + ( 1 + 2a ) x + 2a ^2 + a + 1$ равен
$( 1 + 2a ) ^2 - 8 ( 2a ^2 + a + 1 ) = - 12a ^2 - 4a - 7= - 8a ^2 - ( 2a + 1 ) ^2 - 6$
Это выражение отрицательно при любом значении a, следовательно, выражение $2x ^2 + ( 1 + 2a ) x + 2a ^2 + a + 1$ принимает только положительные значения при любых значениях x и a. Таким образом, второе неравенство системы = сильно неравенству x a. Преобразуем первое неравенство:
$\log_{2} ( 4 в степени ( ax ) \cdot 2 в степени ( x ^2 ) ) меньше \log_{2} ( 7 в степени ( - ( x + 2a ) ) ) = сильно x ^2 + 2ax меньше - ( x + 2a ) \log_{2} 7 = сильно ( x + 2a ) ( x + \log_{2} 7 ) меньше 0$ $\log_{2} ( 4 в степени ( ax ) \cdot 2 в степени ( x ^2 ) ) меньше \log_{2} ( 7 в степени ( - ( x + 2a ) ) ) = сильно$
$ = сильно x ^2 + 2ax меньше - ( x + 2a ) \log_{2} 7 = сильно ( x + 2a ) ( x + \log_{2} 7 ) меньше 0$ $\log_{2} ( 4 в степени ( ax ) \cdot 2 в степени ( x ^2 ) ) меньше \log_{2} ( 7 в степени ( - ( x + 2a ) ) ) = сильно$
$ = сильно x ^2 + 2ax меньше - ( x + 2a ) \log_{2} 7 = сильно$
$ = сильно ( x + 2a ) ( x + \log_{2} 7 ) меньше 0$
Если $ - 2a= - \log_{2} 7$ то неравенство $( x + 2a ) ( x + \log_{2} 7 ) меньше 0$ не имеет решений.
Если $ - 2a меньше - \log_{2} 7$ то $ - 2a меньше x меньше - \log_{2} 7 меньше - 2$ и на отрезке [−2; 1] решений нет.
Если $ - 2a больше - \log_{2} 7$ то получаем систему неравенств: $$$\begin{cases} - \log_{2} 7 меньше x меньше - 2a \\[6pt] x меньше a. \end{cases}$$$ Чтобы на отрезке [−2; 1] было решение, нужно, чтобы наименьшее из чисел a и −2a было больше чем −2: $$$\begin{cases} a больше - 2 \\[6pt] - 2a больше - 2 \end{cases}$$ . = сильно - 2 меньше a меньше 1$
Ответ: (−2; 1).
Правильный ответ:
(−2; 1)
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66853 • Задание №10
[рис.] На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числи...
ID 69824 • Задание №16
Валерий планирует вложить 1 млн. рублей в сберегательный сертификат. Банк предлагает клиентам сберегательные с...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ | 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки a = 4 | 3
С помощью верного рассуждения получен промежуток (4; +∞), возможно, с исключением граничной точки a = 4 и исключением точки a = 3
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямой и окружности и прямых (аналитически или графически) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ | 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки a = 4 | 3
С помощью верного рассуждения получен промежуток (4; +∞), возможно, с исключением граничной точки a = 4 и исключением точки a = 3
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямой и окружности и прямых (аналитически или графически) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
🔗 Другие задания линии №18 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 70718
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: 6k минус левая круг...
ID 70719
Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение $логарифм по основанию левая круглая с...
ID 70720
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка логарифм по основанию 8 ле...
ID 70721
Найдите наименьшее натуральное значение a, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим...
ID 70722
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс ...