Преобразуем первое уравнение системы:

$( 4 - y - $\sqrt{аргумента: 8 x - x ^2 - 7}$ аргумента ) ( y ^2 - 5 y + 4 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} y=4 - $\sqrt{аргумента: 9 - ( x - 4 ) ^2}$ аргумента , ( y - 1 ) ( y - 4 ) =0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} ( x - 4 ) ^2 + ( y - 4 ) ^2 =9 \\[6pt] y=1 \\[6pt] y=4 \end{cases}$$ . y меньше или = 4,1 меньше или = x меньше или = 7. \end{array} \right.$ $( 4 - y - $\sqrt{аргумента: 8 x - x ^2 - 7}$ аргумента ) ( y ^2 - 5 y + 4 ) =0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} y=4 - $\sqrt{аргумента: 9 - ( x - 4 ) ^2}$ аргумента , ( y - 1 ) ( y - 4 ) =0 \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} ( x - 4 ) ^2 + ( y - 4 ) ^2 =9 \\[6pt] y=1 \\[6pt] y=4 \end{cases}$$ . y меньше или = 4,1 меньше или = x меньше или = 7. \end{array} \right.$ $( 4 - y - $\sqrt{аргумента: 8 x - x ^2 - 7}$ аргумента ) ( y ^2 - 5 y + 4 ) =0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} y=4 - $\sqrt{аргумента: 9 - ( x - 4 ) ^2}$ аргумента , ( y - 1 ) ( y - 4 ) =0 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} ( x - 4 ) ^2 + ( y - 4 ) ^2 =9 \\[6pt] y=1 \\[6pt] y=4 \end{cases}$$ . y меньше или = 4,1 меньше или = x меньше или = 7. \end{array} \right.$

[рис.]
В системе координат xOy графиком полученной системы (выделено оранжевым) является объединение двух отрезков и нижней полуокружности радиуса 3 с центром в точке $( 4; 4 )$ Графиком второго уравнения исходной системы является семейство параллельных прямых $y=x + a$ Количество решений исходной системы = количеству точек пересечения построенных графиков. Поэтому исходная система:
—  при $a меньше a_1$ не имеет решений;
—  при $a_1 меньше или = a меньше a_2$ имеет одно решение;
—  при $a=a_2$ два решения;
—  при $a_2 меньше a меньше a_3$ три решения;
—  при $a=a_3$ два решения;
—  при $a_3 меньше a меньше или = a_4$ три решения;
—  при $a_4 меньше a меньше a_5$ два решения;
—  при $a=a_5$ одно решение;
—  при $a больше a_5$ не имеет решений.
Найдём соответствующие значения параметра. При $a=a_5$ прямая проходит через точку $( 1; 4 )$ тогда:

$4=1 + a_5 = сильно a_5=3$

При $a=a_4$ прямая проходит через точку $( 1; 1 )$ тогда

$1=1 + a_4 = сильно a_4=0$

При $a=a_3$ прямая проходит через точки $( 7; 4 )$ и $( 4; 1 )$ тогда

$$$\begin{cases} 4=7 + a_3 \\[6pt] 1=4 + a_3 \end{cases}$$ . = сильно a_3= - 3$

При $a=a_2$ прямая касается дуги окружности в точке $( 4 + \frac{3 $\sqrt{2}$}{2} ; 4 - \frac{3 $\sqrt{2}$}{2} )$ тогда

$4 - \frac{3 $\sqrt{2}$}{2} =4 + \frac{3 $\sqrt{2}$}{2} + a_2 = сильно a_2= - 3 \sqrt{2}$

Таким образом, исходная система имеет ровно два различных решения при $a= - 3 \sqrt{2}$ $a= - 3$ и $0 меньше a меньше 3$

Ответ: $\{ - 3 $\sqrt{2}$ ; - 3 \} \cup ( 0; 3 )$