Преобразуем второе уравнение системы:

$x ^2 - xy + 2x - 2y = 0 = сильно x ( x - y ) + 2 ( x - y ) =0 = сильно ( x - y ) ( x + 2 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=y, x= - 2. \end{array} \right.$ $x ^2 - xy + 2x - 2y = 0 = сильно x ( x - y ) + 2 ( x - y ) =0 = сильно$
$ = сильно ( x - y ) ( x + 2 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=y, x= - 2. \end{array} \right.$

Подставим найденные решения в первое уравнение системы.
Если $x= - 2$ то

$| - 2| + |2y|=2a = сильно 1 + |y|=a = сильно |y|=a - 1 = сильно $$\begin{cases} y= \pm ( a - 1 ) \\[6pt] a больше или = 1. \end{cases}$$$

При $a больше или = 1$ решениями системы являются пары чисел: $( - 2, a - 1 )$ и $( - 2, 1 - a )$ которые совпадают при $a=1$
Если $x=y$ то

$|y| + |2y|=2a = сильно 3|y|=2a = сильно $$\begin{cases} y= \pm $\frac{2a}{3}$ \\[6pt] a больше или = 0. \end{cases}$$$

При $a больше или = 0$ решениями системы являются пары чисел: $( $\frac{2a}{3}$ , $\frac{2a}{3}$ )$ и $( - $\frac{2a}{3}$ , - $\frac{2a}{3}$ )$ которые совпадают при $a=0$
Таким образом, система имеет не более четырёх решений. Чтобы решений было ровно четыре, необходимо, чтобы решением не являлась пара чисел $( - 2, - 2 )$ то есть должно выполняться условие $a не = 3$ Значит, исходная система имеет ровно 4 различных решения при $1 меньше a меньше 3$ или $a больше 3$

Ответ: $( 1; 3 ) \cup ( 3; + бесконечность )$