[рис.] Преобразуем систему, учитывая ограничение $x - 2 больше или = 0:$

$$$\begin{cases} a ( x - 1 ) больше или = 4 \\[6pt] 2 $\sqrt{аргумента: x - 2}$ аргумента больше или = 2 \\[6pt] 3x меньше a + 14 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a больше или = $\frac{4}{x - 1}$ \\[6pt] $\sqrt{аргумента: x - 2}$ аргумента больше или = 1 \\[6pt] 3x - 14 меньше a \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a больше или = $\frac{4}{x - 1}$ \\[6pt] x больше или = 3 \\[6pt] a больше 3x - 14. \end{cases}$$$

В системе координат xOa изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют полученной системе (выделено синим). Это точки, лежащие одновременно
— правее прямой $x=3$ включая саму прямую,
— не ниже ветви гиперболы $a= \frac{4}{x - 1}$
— выше прямой $a=3x - 14$
На отрезке [4; 5] система имеет хотя бы одно решение при $a больше 1$

Ответ: $( 1; + бесконечность )$

Приведем аналитическое решение.
Заметим, что на отрезке [4; 5] второе неравенство выполнено при всех x, поскольку

$2 $\sqrt{аргумента: x - 2}$ аргумента больше или = 2 $\sqrt{аргумента: 4 - 2}$ аргумента =2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента больше или = 2$
Далее, при всех x из данного промежутка выражение $x - 1$ положительно, поэтому и a должно быть положительно, чтобы первое неравенство могло выполняться. Тогда первое неравенство дает $x больше или = $\frac{4}{a}$ + 1$ а третье $x меньше \frac{a + 14}{3}$
Заметим, что при $a меньше 1$ первое неравенство дает $x больше или = $\frac{4}{a}$ + 1 больше $\frac{4}{1}$ + 1=5$ и потому нужных x не найдется.
При $a=1$ первое неравенство дает $x больше или = 5$ а второе $x меньше 5$ что не подходит.
При $a больше 1$ возьмем $x = 5$ получим:

$5= $\frac{1 + 14}{3}$ меньше \frac{a + 14}{3}$
и
$5= $\frac{4}{1}$ + 1 больше или = $\frac{4}{a}$ + 1$

Следовательно, на отрезке [4; 5] система имеет хотя бы одно решение при $a больше 1$