[рис.] Запишем исходное уравнение в виде

$\cos ^2 x + ( 3 + a ) \cos x - 4=0$

Пусть t  =  cosx, тогда исходное уравнение имеет хотя бы один корень, если уравнение $t ^2 + ( 3 + a ) t - 4=0$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1]. Графиком функции $f ( t ) =t ^2 + ( 3 + a ) t - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, $f ( 0 ) = - 4$
Cледовательно, уравнение $f ( t ) =0$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1], либо при условии $f ( - 1 ) больше или = 0$ (рис. 1) $1 - ( 3 + a ) - 4 больше или = 0$ откуда $a меньше или = - 6$ либо при условии $f ( 1 ) больше или = 0$ (рис. 2) $1 + ( 3 + a ) - 4 больше или = 0$ откуда $a больше или = 0$

Ответ: $( - бесконечность ; - 6 ] \cup [ 0; + бесконечность )$

Примечание.
Для сравнения в задании 506078 приведены два неоптимальных решения этой задачи.