Заметим, что при любых значениях переменной x и параметра a знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство = сильно неравенству

$a - ( a ^2 - 2a - 3 ) \cos x + 4 меньше \sin ^2 x + a ^2 + 1$     (1)
[рис.]
Для того чтобы множество решений неравенства содержало отрезок $[ - $\frac{\pi}{3}$ ; $\frac{\pi}{2}$ ]$ \cos должен принимать значения $0 меньше или = \cos x меньше или = 1$ (см. рис.)
Пусть $\cos x=t$ тогда $\sin ^2 x=1 - t ^2$ и неравенство принимает вид

$a - ( a ^2 - 2a - 3 ) t + 4 меньше 1 - t ^2 + a ^2 + 1$    (2)
$t ^2 - ( a ^2 - 2a - 3 ) t - a ^2 + a + 2 меньше 0$    (3)

Введём функцию $f ( t ) =t ^2 - ( a ^2 - 2a - 3 ) t - a ^2 + a + 2$
Для того чтобы множество решений неравенства (3) содержало отрезок $[ 0;1 ]$ необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия $f ( 0 ) меньше 0$ и $f ( 1 ) меньше 0$
[рис.]
$$$\begin{cases} f ( 0 ) меньше 0 \\[6pt] f ( 1 ) меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} - a ^2 + a + 2 меньше 0 \\[6pt] - 2a ^2 + 3a + 6 меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} a меньше - 1 \\[6pt] a больше 2 \end{cases}$$ . совокупность выражений a меньше \frac{3 - $\sqrt{аргумента: 57}$ аргумента}{4} , a больше \frac{3 + $\sqrt{аргумента: 57}$ аргумента}{4} \end{array} \right. . конец совокупности . = сильно \left[ \begin{array}{l} a меньше \frac{3 - $\sqrt{аргумента: 57}$ аргумента}{4} , a больше \frac{3 + $\sqrt{аргумента: 57}$ аргумента}{4} . \end{array} \right.$ $$$\begin{cases} f ( 0 ) меньше 0 \\[6pt] f ( 1 ) меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} - a ^2 + a + 2 меньше 0 \\[6pt] - 2a ^2 + 3a + 6 меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} a меньше - 1 \\[6pt] a больше 2 \end{cases}$$ . совокупность выражений a меньше \frac{3 - $\sqrt{аргумента: 57}$ аргумента}{4} , a больше \frac{3 + $\sqrt{аргумента: 57}$ аргумента}{4} \end{array} \right. . конец совокупности . = сильно \left[ \begin{array}{l} a меньше \frac{3 - $\sqrt{аргумента: 57}$ аргумента}{4} , a больше \frac{3 + $\sqrt{аргумента: 57}$ аргумента}{4} . \end{array} \right.$

Ответ: $a меньше \frac{3 - $\sqrt{аргумента: 57}$ аргумента}{4} ;a больше \frac{3 + $\sqrt{аргумента: 57}$ аргумента}{4}$