[рис.] Заметим, что при любых значениях переменной x и параметра a знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство = сильно неравенству

$a - ( a ^2 - 2a ) \cos 2x + 2 меньше 3 - \cos 4x + a ^2 = сильно$
$ = сильно a - ( a ^2 - 2a ) \cos 2x + 2 меньше 3 - 2 \cos ^2 2x + 1 + a ^2$

Для того чтобы множество решений неравенства содержало отрезок $[ - 2 \pi ; - $\frac{7 \pi}{6}$ ]$ удвоенный аргумент должен содержать отрезок $[ - 4 \pi ; - $\frac{7 \pi}{3}$ ]$ а \cos двойного угла должен принимать все значения $ - 1 меньше или = \cos 2x меньше или = 1$ (см. рис.).

Пусть $\cos 2x=t$ тогда неравенство принимает вид

$a - ( a ^2 - 2a ) t + 2 меньше 3 - 2t ^2 + 1 + a ^2 = сильно 2t ^2 - ( a ^2 - 2a ) t - a ^2 + a - 2 меньше 0$ $a - ( a ^2 - 2a ) t + 2 меньше 3 - 2t ^2 + 1 + a ^2 = сильно$
$ = сильно 2t ^2 - ( a ^2 - 2a ) t - a ^2 + a - 2 меньше 0$
[рис.]

Рассмотрим функцию $f ( t ) =2t ^2 - ( a ^2 - 2a ) t - a ^2 + a - 2$
Для того чтобы множество решений последнего неравенства содержало отрезок $[ - 1; 1 ]$ необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия $f ( - 1 ) меньше 0$ и $f ( 1 ) меньше 0$
$$$\begin{cases} f ( - 1 ) меньше 0 \\[6pt] f ( 1 ) меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2 + a ^2 - 2a - a ^2 + a - 2 меньше 0 \\[6pt] 2 - a ^2 + 2a - a ^2 + a - 2 меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a больше 0 \\[6pt] 2a ^2 - 3a больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a больше 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} a меньше 0 \\[6pt] a больше $\frac{3}{2}$ \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно a больше \frac{3}{2}$ $$$\begin{cases} f ( - 1 ) меньше 0 \\[6pt] f ( 1 ) меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2 + a ^2 - 2a - a ^2 + a - 2 меньше 0 \\[6pt] 2 - a ^2 + 2a - a ^2 + a - 2 меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} a больше 0 \\[6pt] 2a ^2 - 3a больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a больше 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} a меньше 0 \\[6pt] a больше $\frac{3}{2}$ \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно a больше \frac{3}{2}$
Ответ: $a больше \frac{3}{2}$