Запишем уравнение в виде

$x ^2 + ( a - 1 ) ^2 = |x + a - 1| + |x - a + 1|$

Если $x_0$ является корнем исходного уравнения, то и $ - x_0$ является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет нечётное число корней, только если $x_0= - x_0$ то есть $х_0 = 0$ Подставим значение $x=0$ в уравнение:

$( 1 - a ) ^2 = 2|1 - a| = сильно |1 - a| \cdot ( |1 - a| - 2 ) = 0$

откуда либо $|1 - a| = 0 = сильно a = 1$ либо $|1 - a| = 2 = сильно a = - 1$ или $a = 3$

При $a = 1$ уравнение принимает вид $x ^2 =2|x|$ Корнями этого уравнения являются числа $ - 2, 0$ и $2$ то есть уравнение имеет ровно три корня.
При $a = - 1$ и при $a = 3$ уравнение принимает вид $x ^2 + 4=|x - 2| + |x + 2|$
При $x меньше - 2$ это уравнение сводится к уравнению $x ^2 + 2x + 4=0$ которое не имеет корней.
При $ - 2 меньше или = x меньше или = 2$ получаем уравнение $x ^2 =0$ которое имеет единственный корень.
При $x больше 2$ получаем уравнение $x ^2 - 2x + 4=0$ которое не имеет корней.

Таким образом, при $a = - 1$ и при $a = 3$ исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $a= - 1$ и $a=3$