Пусть $a - 3=b$ тогда

$x в степени 4 + b ^2 = |x - b| + |x + b| \qquad ( * )$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: уравнение (⁎) имеет единственное решение. Это уравнение не изменяется при замене х на −x, а потому если число $x_0$ является решением этого уравнения, то и число $ - x_0$ также является его решением. Чтобы уравнение имело единственное решение, оно должно иметь корень $x=0$ и не должно иметь других корней. Полагая $x=0$ находим:

$b ^2 =2|b| = сильно |b| \cdot ( |b| - 2 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} b=0, b = \pm 2. \end{array} \right.$

Осталось проверить, имеет ли уравнение другие корни, при найденных значениях b. При $b=0$ уравнение принимает вид $x в степени 4 =2|x|$ и имеет три различных решения: $x = - корень 3 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,x=0,x = корень 3 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ поэтому $b=0$ не подходит. Если $b = \pm 2$ то

$x в степени 4 + 4 = |x - 2| + |x + 2|$

Раскроем модули: на отрезке [0; 2] уравнение принимает вид $x в степени 4 + 4 = 4$ и имеет единственное решение $x=0$ При $x больше 2$ получаем: $x в степени 4 + 4 = 2x$ Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим заключаем, что

$x в степени 4 + 4 больше или = 2 $\sqrt{аргумента: x в степени 4 \cdot 4}$ аргумента = 4 x ^2 больше 2x при x больше 2$

Таким образом, при $|b| = 2$ уравнение не имеет положительных корней, а потому, в силу четности левой и правой частей уравнения, не имеет и отрицательных корней, то есть имеет единственный корень $x=0$

Случай 2: уравнение (⁎) не имеет решений. Поскольку значения $|b|=0$ и $|b| = 2$ уже разобраны, осталось рассмотреть значения $|b| больше 2$ и $0 меньше |b| меньше 2$ Обозначим $f ( x ) =x в степени 4 + b ^2$

$g ( x ) =|x - b| + |x + b| = $$\begin{cases} 2|x| при |x| больше или = |b| \\[6pt] 2|b| при |x| меньше |b|. \end{cases}$$$

Рассмотрим случай $|b| больше 2$ Если $|x| больше или = |b| больше 2$ то

$f ( x ) =x в степени 4 + b ^2 больше x в степени 4 = |x| \cdot x ^2 \cdot |x| больше или = 2 \cdot x ^2 \cdot |b| больше 2|x|=g ( x )$

то есть уравнение решений не имеет. Если $|x| меньше |b|$ то

$f ( x ) =x в степени 4 + b ^2 больше или = b ^2 больше 2|b|=g ( x )$

в этом случае тоже нет решений.
Рассмотрим случай $0 меньше |b| меньше 2$ В этом случае верны неравенства

$f ( 0 ) меньше g ( 0 )$
и
$f ( 2 ) больше g ( 2 )$

поскольку $b ^2 меньше 2|b|$ и $16 + b ^2 больше 4$ Значит, уравнение $f ( x ) =g ( x )$ имеет решения отличные от нуля, то есть решений больше одного.

Таким образом, уравнение (⁎) имеет единственное решение или не имеет решений при $b меньше или = - 2$ и $b больше или = 2$ то есть при $a меньше или = 1$ и $a больше или = 5$

Ответ: $a меньше или = 1,a больше или = 5$