Заметим, что $9 в степени ( - x + 1 ) \cdot 3 в степени ( x ^2 ) = 3 в степени ( ( x - 1 ) ^2 + 1 )$ Из формулы $\sin альфа + \cos альфа = $\sqrt{2}$ \cos ( альфа - $\frac{\pi}{4}$ )$ находим:

$\sin $\frac{\pi x}{4}$ + \cos $\frac{\pi x}{4}$ = $\sqrt{2}$ \cos ( $\frac{\pi x}{4}$ - $\frac{\pi}{4}$ ) = $\sqrt{2}$ \cos ( $\frac{\pi}{4}$ ( x - 1 ) )$

Тогда

$3 в степени ( ( x - 1 ) ^2 + 1 ) + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + ( a ^3 + 5a ^2 + a ) = 3 + $\sqrt{2}$ \cos ( $\frac{\pi}{4}$ ( x - 1 ) )$

Обе части уравнения симметричны относительно $x=1$ а значит, если $x_1=1 + t$ корень уравнения, то и $x_2=1 - t$   — тоже корень. Чтобы уравнение имело единственный корень, оно должно иметь решением $x=1$ и не иметь других решений. Подставим $x=1$ получим:

$a ^3 + 5a ^2 + a=0 = сильно a ( a ^2 + 5a + 1 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} a=0,a ^2 + 5a + 1=0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} a=0,a= \frac{ - 5\pm $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента}{2} . \end{array} \right.$ $a ^3 + 5a ^2 + a=0 = сильно a ( a ^2 + 5a + 1 ) =0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} a=0,a ^2 + 5a + 1=0 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} a=0,a= \frac{ - 5\pm $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента}{2} . \end{array} \right.$

В тоже время это условие является и достаточным, так как $3 в степени ( ( x - 1 ) ^2 + 1 ) + $\sqrt{2}$ больше или = 3 + \sqrt{2}$ и равенство достигается при $x=1$ а

$3 + $\sqrt{2}$ \cos ( $\frac{\pi}{4}$ ( x - 1 ) ) меньше или = 3 + \sqrt{2}$

и равенство достигается при $x=1 + 8 k$ $k принадлежит Z$

Ответ: $a принадлежит \{ \frac{ - 5 - $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента}{2} ; 0; \frac{ - 5 + $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента}{2} \}$