Исходное неравенство = сильно совокупности

$\left[ \begin{array}{l} \log_{левая} круглая скобка $\frac{1}{a}$ ) ( $\sqrt{аргумента: x ^2 + ax + 5}$ аргумента + 1 ) \cdot \log_{5} ( x ^2 + ax + 6 ) + \log_{левая} круглая скобка a ) 3 больше 0, ( * ) \log_{левая} круглая скобка $\frac{1}{a}$ ) ( $\sqrt{аргумента: x ^2 + ax + 5}$ аргумента + 1 ) \cdot \log_{5} ( x ^2 + ax + 6 ) + \log_{левая} круглая скобка a ) 3=0. ( ** ) \end{array} \right.$

При любом значении параметра на своей области определения левая часть неравенства (⁎) непрерывна, а потому неравенство строгого знака либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений. Таким образом, исходное неравенство будет иметь единственное решение, если уравнение (⁎⁎) имеет единственный корень и при этом неравенство (⁎) не имеет решений. Рассмотрим уравнение (⁎⁎):

$\log_{левая} круглая скобка $\frac{1}{a}$ ) ( $\sqrt{аргумента: x ^2 + ax + 5}$ аргумента + 1 ) \cdot \log_{5} ( x ^2 + ax + 6 ) + \log_{левая} круглая скобка a ) 3=0 = сильно$
$ = сильно \log_{левая} круглая скобка a ) 3= \log_{левая} круглая скобка a ) ( $\sqrt{аргумента: x ^2 + ax + 5}$ аргумента + 1 ) \cdot \log_{5} ( x ^2 + ax + 6 ) = сильно$
$ = сильно 1= \frac{\log_{левая} круглая скобка a ) ( $\sqrt{аргумента: x ^2 + ax + 5}$ аргумента + 1 )}{\log_{левая} круглая скобка a ) 3} \cdot \log_{5} ( x ^2 + ax + 6 ) = сильно $$\begin{cases} 1= \log_{3} ( $\sqrt{аргумента: x ^2 + ax + 5}$ аргумента + 1 ) \cdot \log_{5} ( x ^2 + ax + 6 ) \\[6pt] a больше 0 \\[6pt] a не = 1. \end{cases}$$$ $ = сильно 1= \frac{\log_{левая} круглая скобка a ) ( $\sqrt{аргумента: x ^2 + ax + 5}$ аргумента + 1 )}{\log_{левая} круглая скобка a ) 3} \cdot \log_{5} ( x ^2 + ax + 6 ) = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 1= \log_{3} ( $\sqrt{аргумента: x ^2 + ax + 5}$ аргумента + 1 ) \cdot \log_{5} ( x ^2 + ax + 6 ) \\[6pt] a больше 0 \\[6pt] a не = 1. \end{cases}$$$

Пусть $\sqrt{аргумента: x ^2 + ax + 5} аргумента =t, где t\geqslant0$ тогда

$1= \log_{3} ( t + 1 ) \cdot \log_{5} ( t ^2 + 1 )$

Заметим, что при $t больше 2$ каждый из множителей правой части больше 1, значит, уравнение не имеет корней. При $t меньше 2$ каждый из множителей правой части меньше 1, поэтому уравнение также не имеет корней. Значит, $t=2$ является единственным корнем этого уравнения.
Вернёмся к исходной переменной:

$\sqrt{аргумента: x ^2 + ax + 5} аргумента =2 = сильно x ^2 + ax + 5=4 = сильно x ^2 + ax + 1=0$

Полученное квадратное уравнение имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю:

$D=a ^2 - 4=0 = сильно a=\pm2$

Учитывая ограничения $$$\begin{cases} a больше 0 \\[6pt] a не = 1 \end{cases}$$$ получаем, что уравнение (⁎⁎) имеет единственный корень при $a=2$ Решим неравенство (⁎) при $a=2$ :

$\log_{левая} круглая скобка $\frac{1}{2}$ ) ( $\sqrt{аргумента: x ^2 + 2x + 5}$ аргумента + 1 ) \cdot \log_{5} ( x ^2 + 2x + 6 ) + \log_{левая} круглая скобка 2 ) 3 больше 0 = сильно$
$ = сильно 1 больше \log_{3} ( $\sqrt{аргумента: x ^2 + 2x + 5}$ аргумента + 1 ) \cdot \log_{5} ( x ^2 + 2x + 6 ) = сильно$
$ = сильно 1 больше \log_{3} ( $\sqrt{аргумента: ( x + 1 ) ^2 + 4}$ аргумента + 1 ) \cdot \log_{5} ( ( x + 1 ) ^2 + 5 )$

При любых значениях x каждый из множителей правой части не меньше 1, значит, неравенство не имеет решений.
Таким образом, исходное неравенство имеет ровно одно решение только при $a=2$

Ответ: 2.